Номер 440, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

440. Свая высотой $H$, установленная перпендикулярно к плоскости горизонтального дна водоема, наполовину выступает над водой. Определите длину тени от сваи на дне водоема при освещении ее солнечным светом, если известно, что световые лучи, отраженные от поверхности воды, перпендикулярны преломленным. Абсолютный показатель преломления воды равен $n$.

Дано:
Высота сваи: $H$
Часть сваи, выступающая над водой: $H_{над} = H/2$
Часть сваи, погруженная в воду: $H_{под} = H/2$
Абсолютный показатель преломления воды: $n$
Условие: отраженные от поверхности воды световые лучи перпендикулярны преломленным.

Найти:
Длину тени от сваи на дне водоема $L$.

Решение:

Тень на дне водоема образуется солнечным лучом, который скользит по верхушке сваи. Общая длина тени $L$ на дне складывается из двух частей: длины тени $L_1$, которую отбрасывает надводная часть сваи на поверхность воды, и горизонтального смещения $L_2$ преломленного луча при его прохождении через воду до дна.

$L = L_1 + L_2$

Сначала определим угол падения солнечных лучей $\alpha$ на поверхность воды. Согласно условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. Пусть $\alpha$ — угол падения, $\alpha'$ — угол отражения, $\beta$ — угол преломления. Все углы отсчитываются от нормали к поверхности.

По закону отражения света, угол отражения равен углу падения: $\alpha' = \alpha$.

Так как отраженный и преломленный лучи перпендикулярны, угол между ними составляет $90^\circ$. Эти лучи находятся по разные стороны от нормали, поэтому угол между ними равен сумме их углов с нормалью:

$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Теперь воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса) на границе воздух-вода:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

где $n_1 \approx 1$ — показатель преломления воздуха, а $n_2 = n$ — показатель преломления воды.

$\sin\alpha = n \sin\beta$

Из соотношения $\alpha + \beta = 90^\circ$ выразим $\beta = 90^\circ - \alpha$. Тогда $\sin\beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Подставим это в закон преломления:

$\sin\alpha = n \cos\alpha$

Разделив обе части на $\cos\alpha$ (при $\alpha \neq 90^\circ$, что очевидно), получим тангенс угла падения:

$\tan\alpha = n$

Теперь мы можем найти обе части тени.

Длина тени $L_1$ от надводной части сваи (высотой $H/2$) на поверхность воды определяется из прямоугольного треугольника, где катетами являются надводная часть сваи и тень $L_1$. Угол, прилежащий к катету $H/2$, равен $\alpha$.

$\tan\alpha = \frac{L_1}{H/2}$

$L_1 = \frac{H}{2} \tan\alpha = \frac{Hn}{2}$

Горизонтальное смещение $L_2$ преломленного луча в воде на глубине $H/2$ определяется из другого прямоугольного треугольника, где катеты — глубина воды и смещение $L_2$. Угол, прилежащий к катету $H/2$, равен углу преломления $\beta$.

$\tan\beta = \frac{L_2}{H/2}$

$L_2 = \frac{H}{2} \tan\beta$

Найдем $\tan\beta$, используя связь между углами:

$\tan\beta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{n}$

Тогда:

$L_2 = \frac{H}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{H}{2n}$

Полная длина тени на дне $L$ равна сумме $L_1$ и $L_2$:

$L = L_1 + L_2 = \frac{Hn}{2} + \frac{H}{2n} = \frac{H}{2} \left(n + \frac{1}{n}\right) = \frac{H(n^2+1)}{2n}$

Ответ: $L = \frac{H(n^2+1)}{2n}$