Номер 436, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

436. На горизонтальном дне водоема глубиной $h = 2,4$ м лежит плоское тонкое зеркало. Определите, на каком расстоянии от места вхождения луча в воду он снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала. Угол падения луча на поверхность воды $\alpha = 30^\circ$.

Дано:

$h = 2,4 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)

$n_2 = 4/3$ (показатель преломления воды)

Найти:

$L - ?$

Решение:

Пусть луч света падает на поверхность воды под углом $\alpha$ к нормали. При переходе из воздуха в воду луч преломляется. Угол преломления $\beta$ можно найти с помощью закона Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

где $n_1$ - показатель преломления воздуха, $n_2$ - показатель преломления воды.

Выразим синус угла преломления:

$\sin \beta = \frac{n_1 \sin \alpha}{n_2}$

Пройдя через воду, луч отражается от зеркала на дне. Согласно закону отражения, угол падения на зеркало равен углу отражения. Так как зеркало горизонтально, угол падения луча на зеркало (относительно нормали к зеркалу) равен углу преломления $\beta$. Следовательно, отраженный луч пойдет вверх под тем же углом $\beta$ к нормали.

Расстояние, которое луч пройдет по горизонтали от точки входа в воду до зеркала, можно найти из геометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет - это глубина водоема $h$, а другой - искомое горизонтальное расстояние $L_1$. Угол, прилежащий к катету $h$, равен $\beta$. Тогда:

$\tan \beta = \frac{L_1}{h} \implies L_1 = h \tan \beta$

После отражения от зеркала луч пройдет такое же расстояние по горизонтали $L_2$ до выхода из воды, так как путь симметричен: $L_2 = L_1$.

Таким образом, полное горизонтальное расстояние $L$ от точки вхождения луча в воду до точки его выхода равно:

$L = L_1 + L_2 = 2h \tan \beta$

Найдем $\tan \beta$, зная $\sin \beta$. Используем тригонометрическое тождество $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \beta}{\sqrt{1-\sin^2 \beta}}$.

Подставим выражение для $\sin \beta$:

$L = 2h \frac{\frac{n_1 \sin \alpha}{n_2}}{\sqrt{1 - \left(\frac{n_1 \sin \alpha}{n_2}\right)^2}} = 2h \frac{n_1 \sin \alpha}{\sqrt{n_2^2 - (n_1 \sin \alpha)^2}}$

Подставим числовые значения:

$n_1 \sin \alpha = 1 \cdot \sin 30^\circ = 1 \cdot 0,5 = 0,5$

$L = 2 \cdot 2,4 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{(4/3)^2 - 0,5^2}} = \frac{2,4}{\sqrt{16/9 - 1/4}} = \frac{2,4}{\sqrt{\frac{64-9}{36}}} = \frac{2,4}{\sqrt{\frac{55}{36}}} = \frac{2,4 \cdot 6}{\sqrt{55}} = \frac{14,4}{\sqrt{55}}$

$L \approx \frac{14,4}{7,416} \approx 1,94 \text{ м}$

Ответ: $L \approx 1,94 \text{ м}$.