Номер 423, страница 132 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

423. Определите угол, под которым должен падать луч света на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в два раза меньше угла падения. Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,6$.

Дано:

Абсолютный показатель преломления стекла, $n_2 = n = 1.6$

Угол преломления в два раза меньше угла падения, $\beta = \frac{\alpha}{2}$

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$ (свет падает из воздуха)

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления, $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздух), $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекло).

Подставим в формулу известные значения и условие задачи $\beta = \frac{\alpha}{2}$:

$1 \cdot \sin \alpha = 1.6 \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Для решения этого тригонометрического уравнения применим формулу синуса двойного угла: $\sin \alpha = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим эту формулу в наше уравнение:

$2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1.6 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Так как угол падения $\alpha$ не может быть равен нулю (иначе преломления не будет), то и $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ не равен нулю. Следовательно, мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1.6$

Отсюда находим косинус половины угла падения:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1.6}{2} = 0.8$

Теперь найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$, взяв арккосинус от 0.8:

$\frac{\alpha}{2} = \arccos(0.8) \approx 36.87^{\circ}$

Наконец, найдем искомый угол падения $\alpha$:

$\alpha = 2 \cdot \arccos(0.8) \approx 2 \cdot 36.87^{\circ} \approx 73.74^{\circ}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: Угол, под которым должен падать луч света, составляет примерно $73.7^{\circ}$.