Номер 416, страница 130 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

416. На находящуюся в воздухе прозрачную плоскопараллельную пластинку, изготовленную из однородного материала, падает световой луч (рис. 118). После преломления в пластинке луч проходит через точку А. Какой цифрой обозначена точка, через которую световой луч проходит внутри пластинки?

Рис. 118

Дано:

На рисунке изображена плоскопараллельная пластинка, находящаяся в воздухе. На пластинку падает световой луч. После прохождения через пластинку луч выходит в воздух и проходит через точку А.

Для анализа введем декартову систему координат, совместив левый нижний угол сетки с началом координат $(0, 0)$. Тогда каждая клетка сетки имеет размер $1 \times 1$.

Из рисунка можно определить:

• Левая граница пластинки находится на прямой $x=1$.
• Правая граница пластинки находится на прямой $x=3$.
• Падающий луч входит в пластинку в точке с координатами $P_{вх}(1, 1)$.
• Точка А, через которую проходит вышедший луч, имеет координаты $A(4, 8)$.
• Внутри пластинки на прямой $x=2$ расположены точки, пронумерованные от 1 до 8. Координаты точки с номером $N$ равны $(2, N)$.

Найти:

Номер точки, через которую световой луч проходит внутри пластинки.

Решение:

Основным свойством прохождения света через плоскопараллельную пластинку является то, что вышедший из пластинки луч параллелен падающему лучу. Он лишь смещается в пространстве относительно первоначального направления.

1. Определим направление падающего луча. По рисунку видно, что луч проходит через точки с координатами $(0,0)$ и $(1,1)$. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона к горизонтальной оси) этой прямой равен:

$k_{пад} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1-0}{1-0} = 1$

2. Поскольку вышедший луч параллелен падающему, их угловые коэффициенты равны:

$k_{вых} = k_{пад} = 1$

3. Вышедший луч проходит через точку $A(4, 8)$ и имеет угловой коэффициент $k_{вых} = 1$. Составим уравнение прямой, по которой распространяется вышедший луч, используя уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - 8 = 1 \cdot (x - 4)$

$y = x - 4 + 8$

$y = x + 4$

4. Найдем точку выхода луча из пластинки. Это точка пересечения вышедшего луча с правой границей пластинки, которая находится на прямой $x=3$. Подставим $x=3$ в уравнение вышедшего луча:

$y_{вых} = 3 + 4 = 7$

Таким образом, точка выхода луча из пластинки имеет координаты $P_{вых}(3, 7)$.

5. Внутри пластинки свет распространяется по прямой, соединяющей точку входа $P_{вх}(1, 1)$ и точку выхода $P_{вых}(3, 7)$.

6. Теперь нужно определить, через какую из пронумерованных точек, расположенных на прямой $x=2$, проходит этот отрезок. Найдем ординату $y$ точки на этом отрезке при $x=2$. Для этого можно составить уравнение прямой, проходящей через точки $P_{вх}$ и $P_{вых}$.

Найдем угловой коэффициент луча внутри пластинки:

$k_{вн} = \frac{y_{вых} - y_{вх}}{x_{вых} - x_{вх}} = \frac{7 - 1}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Составим уравнение прямой, используя точку входа $P_{вх}(1, 1)$:

$y - 1 = 3(x - 1)$

$y = 3x - 3 + 1$

$y = 3x - 2$

Подставим в это уравнение значение $x=2$, чтобы найти ординату точки пересечения луча с линией, на которой лежат пронумерованные точки:

$y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Следовательно, внутри пластинки луч проходит через точку с координатами $(2, 4)$. Согласно нумерации на рисунке, это точка, обозначенная цифрой 4.

Ответ: 4.