Номер 413, страница 129 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

413. Из воздуха на поверхность стекла падает световой луч и преломляется на ней. На каком графике правильно изображена зависимость угла преломления $\beta$ от угла падения $\alpha$ (рис. 115, 1–6)?

1 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

2 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

3 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

4 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

5 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

6 $\beta,^\circ$, 90, 0, $\alpha,^\circ$, 90

Рис. 115

Решение

Связь между углом падения $ \alpha $ и углом преломления $ \beta $ при переходе света из одной среды в другую описывается законом преломления света (законом Снеллиуса):

$ n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta) $

где $ n_1 $ — показатель преломления первой среды (воздуха), а $ n_2 $ — показатель преломления второй среды (стекла).

Поскольку световой луч переходит из воздуха в стекло, он переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную. Это означает, что показатель преломления стекла больше показателя преломления воздуха: $ n_2 > n_1 $.

Из закона преломления выразим синус угла преломления:

$ \sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha) $

Так как $ n_2 > n_1 $, то отношение $ \frac{n_1}{n_2} < 1 $. Следовательно, для любых углов падения $ \alpha > 0 $ выполняется неравенство:

$ \sin(\beta) < \sin(\alpha) $

Поскольку для углов от 0° до 90° функция синуса является возрастающей, из $ \sin(\beta) < \sin(\alpha) $ следует, что $ \beta < \alpha $. То есть угол преломления всегда меньше угла падения (кроме случая $ \alpha = 0 $, когда и $ \beta = 0 $).

Проанализируем предложенные графики:

• Графики 1 и 4 показывают, что $ \beta > \alpha $, что противоречит нашему выводу.
• График 6 показывает линейную зависимость $ \beta = \alpha $, что было бы возможно только при $ n_1 = n_2 $. Это также неверно.

Таким образом, правильный график должен находиться среди 2, 3 и 5, так как на них кривая лежит ниже прямой $ \beta = \alpha $.

Рассмотрим предельный случай, когда угол падения $ \alpha = 90^\circ $. В этом случае $ \sin(\alpha) = 1 $, и для угла преломления мы получаем:

$ \sin(\beta_{max}) = \frac{n_1}{n_2} $

Поскольку $ \frac{n_1}{n_2} < 1 $, максимальный угол преломления $ \beta_{max} = \arcsin(\frac{n_1}{n_2}) $ будет строго меньше 90°.

• График 2 показывает, что при $ \alpha = 90^\circ $ угол $ \beta = 90^\circ $. Это неверно.

Остаются графики 3 и 5. Они оба удовлетворяют условиям $ \beta < \alpha $ и $ \beta_{max} < 90^\circ $. Различие между ними заключается в кривизне (вогнутости). График 3 является вогнутым вниз, а график 5 — вогнутым вверх.

Зависимость $ \beta(\alpha) $ не является линейной. При малых углах ($ \alpha \to 0 $) можно использовать приближение $ \sin x \approx x $, и закон преломления принимает вид $ n_1 \alpha \approx n_2 \beta $, откуда $ \beta \approx \frac{n_1}{n_2} \alpha $. График вначале похож на прямую с наклоном меньше 1.

При увеличении угла $ \alpha $ от 0 до 90°, угол $ \beta $ также увеличивается, но медленнее. Наклон графика (производная $ \frac{d\beta}{d\alpha} $) уменьшается. При $ \alpha = 90^\circ $ касательная к графику должна быть горизонтальной (наклон равен нулю). Такое поведение (уменьшение наклона) соответствует кривой, вогнутой вниз.

Следовательно, правильным является график 3.

Ответ: 3.