Номер 406, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

406. На главной оптической оси вогнутого сферического зеркала с фокусным расстоянием $F$ на расстоянии $1,5F$ от зеркала находится светящийся диск диаметром $D$. Плоскость диска перпендикулярна главной оптической оси, центр диска лежит на этой оси. При каком минимальном диаметре зеркала можно получить изображение диска?

Дано:

Фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала: $F$

Расстояние от зеркала до диска: $d = 1,5F$

Диаметр светящегося диска: $D$

Найти:

Минимальный диаметр зеркала $D_{зерк}$

Решение:

1. Сначала найдем расстояние от зеркала до изображения диска ($f'$), используя формулу тонкой линзы (которая справедлива и для сферических зеркал в параксиальном приближении):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Подставим известное значение $d = 1,5F$:

$\frac{1}{1,5F} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Выразим $\frac{1}{f'}$:

$\frac{1}{f'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{1,5F} = \frac{1}{F} - \frac{2}{3F} = \frac{3-2}{3F} = \frac{1}{3F}$

Отсюда находим расстояние до изображения:

$f' = 3F$

Поскольку $f' > 0$, изображение является действительным.

2. Теперь определим размер изображения. Линейное увеличение зеркала $\Gamma$ равно:

$\Gamma = -\frac{f'}{d} = -\frac{3F}{1,5F} = -2$

Знак «минус» указывает на то, что изображение перевернутое. Диаметр изображения $D'$ связан с диаметром предмета $D$ через модуль увеличения:

$D' = |\Gamma| \cdot D = 2D$

3. Минимальный диаметр зеркала определяется необходимостью отразить лучи, идущие от краев диска и формирующие изображение этих краев. Для построения изображения края объекта (например, его верхней точки, находящейся на расстоянии $h = D/2$ от главной оптической оси) используются стандартные лучи. Зеркало должно быть достаточно большим, чтобы отразить эти лучи.

Рассмотрим два луча, выходящие из верхней точки диска:

а) Луч, идущий параллельно главной оптической оси. Он падает на зеркало на высоте $y_1 = h = D/2$ от оси.

б) Луч, идущий через фокус $F$. Чтобы найти высоту $y_2$, на которой этот луч падает на зеркало, можно использовать подобие треугольников. Если расположить зеркало в начале координат ($x=0$), а оптическую ось совместить с осью $x$, то верхняя точка диска будет иметь координаты $A(-1,5F; D/2)$, а фокус — $F(-F; 0)$. Прямая, проходящая через эти две точки, пересечет ось $y$ (плоскость зеркала) в точке с ординатой $y_2$. Из подобия треугольников (или уравнения прямой) получаем:

$\frac{y_2}{F} = \frac{D/2}{1,5F - F} \implies \frac{y_2}{F} = \frac{D/2}{0,5F} = \frac{D}{F}$

Но так как луч падает на зеркало с противоположной стороны от оси, координата будет отрицательной: $y_2 = -D$.

Таким образом, для формирования изображения только верхней точки диска, зеркало должно иметь участок от $y_2 = -D$ до $y_1 = D/2$.

4. Аналогично, для формирования изображения нижней точки диска (находящейся на расстоянии $-D/2$ от оси) потребуются участки зеркала от $y'_1 = -D/2$ (для луча, параллельного оси) до $y'_2 = D$ (для луча, идущего через фокус).

5. Чтобы получить полное изображение всего диска, зеркало должно быть способно отразить все эти лучи. Следовательно, его размер по вертикали должен охватывать оба диапазона: $[-D, D/2]$ и $[-D/2, D]$. Объединение этих диапазонов дает требуемый диапазон высот от $-D$ до $D$.

Это означает, что минимальный радиус зеркала $R_{зерк}$ должен быть равен $D$.

Тогда минимальный диаметр зеркала $D_{зерк}$ равен:

$D_{зерк} = 2R_{зерк} = 2D$

Ответ: Минимальный диаметр зеркала, при котором можно получить изображение диска, равен $2D$.