Номер 404, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

404. *На рисунке 106 изображен ход световых лучей в самом совершенном исследовательском космическом телескопе James Webb (США). Определите расстояние между первым и вторым зеркалом, если диаметр первого зеркала $D = 6,6 \text{ м}$, второго зеркала — $d = 0,74 \text{ м}$, радиус кривизны первого зеркала $R = 15,9 \text{ м}$.

Рис. 106

Дано:

Диаметр первого зеркала $D = 6,6$ м

Диаметр второго зеркала $d = 0,74$ м

Радиус кривизны первого зеркала $R = 15,9$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние между первым и вторым зеркалом $L$

Решение:

Первое (главное) зеркало телескопа является вогнутым, оно собирает параллельные лучи света от далеких объектов в своем фокусе. Фокусное расстояние главного зеркала $F_1$ связано с его радиусом кривизны $R$ соотношением:

$F_1 = \frac{R}{2}$

Подставим значение радиуса кривизны:

$F_1 = \frac{15,9 \text{ м}}{2} = 7,95 \text{ м}$

Второе зеркало расположено на пути сходящихся лучей, до фокуса главного зеркала. Лучи, отраженные от краев главного зеркала (диаметром $D$), направляются к главному фокусу $F_1$ и перехватываются краями второго зеркала (диаметром $d$).

Рассмотрим два подобных треугольника, образованных ходом лучей. Вершина обоих треугольников находится в фокусе главного зеркала $F_1$.

Первый (большой) треугольник имеет основание, равное диаметру главного зеркала $D$, и высоту, равную его фокусному расстоянию $F_1$.

Второй (малый) треугольник имеет основание, равное диаметру второго зеркала $d$, и высоту, равную расстоянию от второго зеркала до фокуса $F_1$. Эту высоту можно выразить как $F_1 - L$, где $L$ – искомое расстояние между зеркалами.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их оснований и высот:

$\frac{D}{d} = \frac{F_1}{F_1 - L}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $L$:

$D \cdot (F_1 - L) = d \cdot F_1$

$D \cdot F_1 - D \cdot L = d \cdot F_1$

$D \cdot L = D \cdot F_1 - d \cdot F_1$

$L = \frac{F_1 \cdot (D - d)}{D} = F_1 \cdot \left(1 - \frac{d}{D}\right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$L = 7,95 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{0,74 \text{ м}}{6,6 \text{ м}}\right) \approx 7,95 \text{ м} \cdot (1 - 0,112) = 7,95 \text{ м} \cdot 0,888 \approx 7,06 \text{ м}$

С учетом правил округления, так как данные $D$ и $d$ имеют по две значащие цифры, ответ следует округлить до двух значащих цифр.

$L \approx 7,1 \text{ м}$

Ответ: расстояние между первым и вторым зеркалом составляет примерно 7,1 м.