Номер 403, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

403. *Изготовление большого зеркала для оптического телескопа — очень сложная и дорогостоящая работа. В качестве альтернативы обычным телескопам в Канаде был построен Большой зенитный телескоп с жидким зеркалом, в котором чаша с ртутью диаметром $D = 6 \text{ м}$ вращалась вокруг вертикальной оси, при этом поверхность ртути принимала параболическую форму. Уровень ртути в центре сосуда был на $\Delta h = 25 \text{ см}$ ниже, чем на краях. Определите:

а) фокусное расстояние этого зеркала, считая его сферическим;

б) наибольшую скорость движения ртути относительно земли.

Дано

Диаметр чаши, $D = 6 \text{ м}$

Разность уровней ртути, $\Delta h = 25 \text{ см}$

$R = D/2 = 6/2 = 3 \text{ м}$
$\Delta h = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

a) Фокусное расстояние зеркала, $F$

б) Наибольшую скорость движения ртути, $v_{max}$

Решение

Поверхность вращающейся с угловой скоростью $\omega$ жидкости принимает форму параболоида вращения. Высота жидкости $h$ на расстоянии $r$ от оси вращения описывается уравнением:

$h(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$

где $g$ – ускорение свободного падения. За ноль высоты принят уровень ртути в центре сосуда.

Разность уровней ртути в центре и на краях сосуда $\Delta h$ равна высоте жидкости при $r = R = D/2$ (на краю чаши):

$\Delta h = h(R) = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$ (1)

а) фокусное расстояние этого зеркала, считая его сферическим

Уравнение параболы, описывающей сечение зеркала, имеет вид $h = a r^2$, где коэффициент $a = \frac{\omega^2}{2g}$. Для параболического зеркала (и для сферического, аппроксимирующего его вблизи вершины) фокусное расстояние $F$ связано с этим коэффициентом соотношением $F = \frac{1}{4a}$.

Подставим выражение для коэффициента $a$:

$F = \frac{1}{4 \cdot \left( \frac{\omega^2}{2g} \right)} = \frac{2g}{4\omega^2} = \frac{g}{2\omega^2}$

Из формулы (1) выразим $\omega^2$:

$\omega^2 = \frac{2g \Delta h}{R^2}$

Подставим это выражение в формулу для фокусного расстояния:

$F = \frac{g}{2 \cdot \left( \frac{2g \Delta h}{R^2} \right)} = \frac{g R^2}{4g \Delta h} = \frac{R^2}{4 \Delta h}$

Теперь вычислим значение фокусного расстояния:

$F = \frac{(3 \text{ м})^2}{4 \cdot 0.25 \text{ м}} = \frac{9 \text{ м}^2}{1 \text{ м}} = 9 \text{ м}$

Ответ: Фокусное расстояние зеркала равно 9 м.

б) наибольшую скорость движения ртути относительно земли

Линейная скорость движения точек жидкости зависит от расстояния до оси вращения по формуле $v = \omega r$. Наибольшая скорость $v_{max}$ будет у точек на краю чаши, где $r=R$.

$v_{max} = \omega R$

Найдем угловую скорость $\omega$ из формулы (1):

$\omega = \sqrt{\frac{2g \Delta h}{R^2}} = \frac{\sqrt{2g \Delta h}}{R}$

Подставим $\omega$ в выражение для $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{\sqrt{2g \Delta h}}{R} \cdot R = \sqrt{2g \Delta h}$

Вычислим наибольшую скорость, приняв $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.25 \text{ м}} = \sqrt{4.9 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 2.21 \text{ м/с}$

С учётом точности исходных данных, округляем до двух значащих цифр.

$v_{max} \approx 2.2 \text{ м/с}$

Ответ: Наибольшая скорость движения ртути составляет примерно 2,2 м/с.