Номер 402, страница 123 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

402. На расстоянии $d = 12$ см от полюса вогнутого сферического зеркала, радиус которого $R = 16$ см, поместили точечный источник света $S$. Зеркало разрезали на две равные части по линии, проходящей через его главную оптическую ось. Каждую часть зеркала сместили на расстояние $r = 10$ мм симметрично относительно оптической оси (рис. 105). Определите расстояние между изображениями источника света.

Рис. 105

Дано:

$d = 12$ см

$R = 16$ см

$r = 10$ мм

$d = 0.12$ м
$R = 0.16$ м
$r = 0.01$ м

Найти:

$L$ - расстояние между изображениями источника света.

Решение:

Задача рассматривает два вогнутых зеркала, которые являются частями одного большого зеркала. Каждая половина создает свое изображение точечного источника света S. Так как половины зеркала смещены симметрично относительно главной оптической оси исходного зеркала, то и изображения будут расположены симметрично.

Сначала найдем фокусное расстояние исходного сферического зеркала. Для вогнутого зеркала фокусное расстояние $F$ положительно и равно половине радиуса кривизны $R$:

$F = \frac{R}{2}$

$F = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}$

Теперь определим расстояние $f'$ от полюса зеркала до изображения, используя формулу сферического зеркала:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим $f'$:

$\frac{1}{f'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$

$f' = \frac{dF}{d - F}$

Подставим числовые значения:

$f' = \frac{12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}}{12 \text{ см} - 8 \text{ см}} = \frac{96 \text{ см}^2}{4 \text{ см}} = 24 \text{ см}$

Это расстояние от плоскости зеркала до изображений вдоль оси, перпендикулярной этой плоскости.

После смещения каждой половины зеркала на расстояние $r$ их собственные главные оптические оси также смещаются на $r$ от первоначальной оси. Источник света S, находящийся на первоначальной оси, оказывается на расстоянии $h=r$ от новой оптической оси каждой из половин зеркала. Это означает, что каждая половина создает изображение внеосевого источника.

Поперечное увеличение $\Gamma$ зеркала определяется формулой:

$\Gamma = -\frac{f'}{d}$

Высота изображения $h'$ (расстояние от новой оптической оси до изображения) связана с высотой предмета $h$ через увеличение:

$h' = \Gamma \cdot h = -\frac{f'}{d}h$

Для верхней половины зеркала, ее ось смещена вверх на $r$. Относительно этой оси источник S находится на высоте $h = -r$. Тогда изображение $S'_1$ будет на высоте $h'_1$ относительно новой оси:

$h'_1 = (-\frac{f'}{d})(-r) = \frac{f'}{d}r$

Таким образом, расстояние от изображения $S'_1$ до первоначальной главной оптической оси будет $y_1 = r + h'_1 = r + \frac{f'}{d}r = r(1 + \frac{f'}{d})$.

Для нижней половины зеркала ее ось смещена вниз на $r$. Относительно этой оси источник S находится на высоте $h = +r$. Тогда изображение $S'_2$ будет на высоте $h'_2$ относительно новой оси:

$h'_2 = (-\frac{f'}{d})r = -\frac{f'}{d}r$

Расстояние от изображения $S'_2$ до первоначальной главной оптической оси будет $y_2 = -r + h'_2 = -r - \frac{f'}{d}r = -r(1 + \frac{f'}{d})$.

Искомое расстояние $L$ между изображениями $S'_1$ и $S'_2$ равно:

$L = |y_1 - y_2| = |r(1 + \frac{f'}{d}) - (-r(1 + \frac{f'}{d}))| = 2r(1 + \frac{f'}{d})$

Подставим числовые значения:

$L = 2 \cdot 10 \text{ мм} \cdot (1 + \frac{24 \text{ см}}{12 \text{ см}}) = 20 \text{ мм} \cdot (1 + 2) = 20 \text{ мм} \cdot 3 = 60 \text{ мм}$

Ответ: расстояние между изображениями источника света равно $60$ мм или $6$ см.