Номер 395, страница 122 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

395. *Расстояние между предметом и его изображением в выпуклом сферическом зеркале $l = 20$ см. Определите оптическую силу зеркала, если увеличение, сформированное зеркалом, $\Gamma = 0,5$.

Дано:

$l = 20 \text{ см}$

$\Gamma = 0,5$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$D - ?$

Решение:

В выпуклом сферическом зеркале изображение всегда мнимое, прямое, уменьшенное и находится за зеркалом. Пусть $d$ — расстояние от предмета до зеркала, а $f$ — расстояние от изображения до зеркала. Согласно правилу знаков, $d > 0$. Так как изображение мнимое, оно находится за зеркалом, поэтому $f < 0$.

Расстояние $l$ между предметом и его изображением складывается из расстояния от предмета до зеркала и модуля расстояния от изображения до зеркала:

$l = d + |f|$

Линейное увеличение $\Gamma$ для зеркала определяется как отношение модуля расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma = \frac{|f|}{d}$

Из формулы увеличения выразим $|f|$:

$|f| = \Gamma \cdot d$

Теперь подставим это выражение в формулу для $l$:

$l = d + \Gamma \cdot d = d(1 + \Gamma)$

Из этого соотношения мы можем найти расстояние от предмета до зеркала $d$:

$d = \frac{l}{1 + \Gamma}$

Подставим числовые значения в СИ:

$d = \frac{0,2 \text{ м}}{1 + 0,5} = \frac{0,2}{1,5} = \frac{2}{15} \text{ м}$

Теперь найдем расстояние от изображения до зеркала. Учитывая, что изображение мнимое ($f<0$):

$f = -|f| = -\Gamma \cdot d = -0,5 \cdot \frac{2}{15} \text{ м} = -\frac{1}{15} \text{ м}$

Оптическая сила зеркала $D$ равна величине, обратной его фокусному расстоянию $F$ ($D = \frac{1}{F}$). Фокусное расстояние можно найти, используя формулу сферического зеркала:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Таким образом, оптическая сила зеркала:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Подставим вычисленные значения $d$ и $f$:

$D = \frac{1}{2/15 \text{ м}} + \frac{1}{-1/15 \text{ м}} = \frac{15}{2} \text{ м}^{-1} - 15 \text{ м}^{-1} = 7,5 \text{ дптр} - 15 \text{ дптр} = -7,5 \text{ дптр}$

Отрицательное значение оптической силы подтверждает, что зеркало является рассеивающим (выпуклым).

Ответ: оптическая сила зеркала равна $-7,5$ дптр.