Номер 390, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

390. *Светящаяся точка расположена на расстоянии $d = 1$ м от выпуклого зеркала, а положение ее изображения делит пополам отрезок главной оптической оси между полюсом зеркала и его фокусом. Определите радиус кривизны зеркала.

Дано:

Расстояние от светящейся точки до выпуклого зеркала $d = 1 \text{ м}$.

Положение изображения делит пополам отрезок между полюсом зеркала и его фокусом.

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Радиус кривизны зеркала $R$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой сферического зеркала, которая связывает расстояние от объекта до зеркала $d$, расстояние от изображения до зеркала $f$ и фокусное расстояние зеркала $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Будем использовать правило знаков, согласно которому для выпуклого (рассеивающего) зеркала фокусное расстояние $F$ и расстояние до мнимого изображения $f$ принимаются отрицательными. Расстояние до действительного объекта $d$ является положительной величиной.

Из условия задачи известно, что расстояние от объекта до зеркала $d = 1 \text{ м}$.

Выпуклое зеркало всегда формирует мнимое изображение, расположенное за зеркалом, между полюсом и мнимым фокусом. По условию, положение изображения делит пополам отрезок главной оптической оси между полюсом зеркала и его фокусом. Это значит, что расстояние от полюса до изображения равно половине фокусного расстояния. В абсолютных величинах это записывается как:

$|f| = \frac{|F|}{2}$

Поскольку для выпуклого зеркала и $f$, и $F$ отрицательны, мы можем записать это соотношение без знаков модуля:

$f = \frac{F}{2}$

Теперь подставим известные данные в формулу зеркала:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{F/2} = \frac{1}{F}$

Преобразуем выражение:

$1 + \frac{2}{F} = \frac{1}{F}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $F$:

$1 = \frac{1}{F} - \frac{2}{F}$

$1 = -\frac{1}{F}$

Отсюда находим фокусное расстояние:

$F = -1 \text{ м}$

Отрицательный знак подтверждает, что зеркало является выпуклым (рассеивающим), что соответствует условию задачи.

Радиус кривизны зеркала $R$ связан с его фокусным расстоянием $F$ следующей формулой:

$R = 2F$

Подставим найденное значение $F$:

$R = 2 \cdot (-1 \text{ м}) = -2 \text{ м}$

Обычно под радиусом кривизны понимают его абсолютное значение. Знак лишь указывает на положение центра кривизны относительно отражающей поверхности.

Следовательно, модуль радиуса кривизны равен $|R| = 2 \text{ м}$.

Ответ: радиус кривизны зеркала равен $2 \text{ м}$.