Номер 384, страница 120 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

384. *Выпуклое сферическое зеркало дает изображение, уменьшенное в $k = 4$ раза. Определите радиус кривизны зеркала, если предмет расположен на расстоянии $d = 30$ см от него.

Дано:

Зеркало выпуклое

Коэффициент уменьшения, $k=4$

Расстояние от предмета до зеркала, $d = 30$ см

Перевод в систему СИ:

$d = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Радиус кривизны зеркала, $R - ?$

Решение:

Выпуклое сферическое зеркало всегда создает мнимое, прямое и уменьшенное изображение. Линейное увеличение $Г$ определяется как отношение высоты изображения к высоте предмета. По условию задачи, изображение уменьшено в $k=4$ раза. Это означает, что линейное увеличение составляет:

$Г = \frac{1}{k} = \frac{1}{4}$

Линейное увеличение также связано с расстоянием от предмета до зеркала $d$ и расстоянием от изображения до зеркала $f$ следующей формулой:

$Г = -\frac{f}{d}$

Приравняв два выражения для увеличения, найдем расстояние до изображения $f$:

$\frac{1}{4} = -\frac{f}{d}$

$f = -\frac{d}{4} = -\frac{30 \text{ см}}{4} = -7.5 \text{ см}$

Знак минус указывает на то, что изображение является мнимым, что соответствует действительности для выпуклого зеркала.

Теперь воспользуемся формулой тонкого сферического зеркала, которая связывает расстояние до предмета $d$, расстояние до изображения $f$ и фокусное расстояние зеркала $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Подставим известные значения в эту формулу. Расстояние до предмета $d$ по соглашению о знаках является положительной величиной.

$\frac{1}{30} + \frac{1}{-7.5} = \frac{1}{F}$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{30} - \frac{4}{30} = \frac{1}{F}$

$-\frac{3}{30} = \frac{1}{F}$

$-\frac{1}{10} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим фокусное расстояние зеркала:

$F = -10 \text{ см}$

Знак минус подтверждает, что зеркало является выпуклым (рассеивающим), так как его фокус мнимый.

Фокусное расстояние сферического зеркала равно половине его радиуса кривизны $R$:

$F = \frac{R}{2}$

Следовательно, радиус кривизны зеркала равен:

$R = 2F = 2 \cdot (-10 \text{ см}) = -20 \text{ см}$

Знак минус в радиусе кривизны является частью соглашения о знаках и указывает на то, что центр кривизны находится за зеркалом (со стороны, противоположной отражающей поверхности). Физическая величина радиуса кривизны равна модулю этого значения.

Ответ: радиус кривизны зеркала равен 20 см.