Номер 393, страница 122 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

393. *Фокус вогнутого сферического зеркала расположен на расстоянии $a = 24 \text{ см}$ от предмета и на расстоянии $b = 54 \text{ см}$ от его действительного изображения. Определите увеличение зеркала.

Дано:

Расстояние от фокуса до предмета $a = 24$ см
Расстояние от фокуса до действительного изображения $b = 54$ см

$a = 0.24$ м
$b = 0.54$ м

Найти:

Увеличение зеркала $\Gamma$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой Ньютона для сферического зеркала. Эта формула связывает фокусное расстояние зеркала $F$ с расстоянием от главного фокуса до предмета $x_o$ и расстоянием от главного фокуса до изображения $x_i$:

$F^2 = x_o \cdot x_i$

Согласно условию задачи, $x_o = a = 24$ см и $x_i = b = 54$ см. Можем найти фокусное расстояние зеркала:

$F = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{24 \text{ см} \cdot 54 \text{ см}} = \sqrt{1296 \text{ см}^2} = 36$ см.

Поскольку изображение действительное, и предмет, и изображение для вогнутого зеркала находятся дальше от зеркала, чем фокус. Расстояние от предмета до зеркала $d$ и расстояние от изображения до зеркала $f$ будут равны:

$d = F + x_o = F + a = 36 \text{ см} + 24 \text{ см} = 60 \text{ см}$

$f = F + x_i = F + b = 36 \text{ см} + 54 \text{ см} = 90 \text{ см}$

Линейное увеличение зеркала $\Gamma$ равно отношению расстояния от изображения до зеркала к расстоянию от предмета до зеркала:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Подставим найденные значения $f$ и $d$:

$\Gamma = \frac{90 \text{ см}}{60 \text{ см}} = 1.5$

Задачу можно решить и более коротким способом. Увеличение зеркала также связано с фокусным расстоянием и расстояниями от фокуса до предмета и изображения следующими соотношениями: $\Gamma = F/x_o$ и $\Gamma = x_i/F$. Перемножив эти два равенства, получим:

$\Gamma^2 = \frac{F}{x_o} \cdot \frac{x_i}{F} = \frac{x_i}{x_o}$

Отсюда, зная $x_o = a$ и $x_i = b$:

$\Gamma = \sqrt{\frac{x_i}{x_o}} = \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{54}{24}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.5