Номер 559, страница 171 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

559. На рисунке 165 изображена тонкая собирающая линза Л, главная оптическая ось которой совпадает с координатной осью $Ox$. Точки $F$ — главные фокусы линзы. Укажите координаты изображений точечных источников света $S_1$ и $S_2$.

Рис. 165

Дано:

Тип линзы: тонкая собирающая
Фокусное расстояние (из рисунка): $F = 3$ см
Координата источника $S_1$: $x_1 = -2$ см
Координата источника $S_2$: $x_2 = -5$ см

Перевод в систему СИ:
$F = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
Расстояние от линзы до источника $S_1$: $d_1 = |x_1| = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Расстояние от линзы до источника $S_2$: $d_2 = |x_2| = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Координаты изображений источников $S_1$ и $S_2$: $x'_1$ и $x'_2$.

Решение:

Для нахождения положения изображения, создаваемого тонкой линзой, используется формула тонкой линзы:$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы. Для собирающей линзы фокусное расстояние считается положительным ($F > 0$). Расстояние $d$ до действительного источника также положительно. Если в результате расчета расстояние до изображения $f$ получается положительным, то изображение является действительным и находится с другой стороны линзы. Если $f$ отрицательно, то изображение мнимое и находится с той же стороны, что и предмет. Линза находится в начале координат ($x=0$), поэтому расстояние до изображения $f$ будет равно его координате $x'$.

Координата изображения источника S₁
Расстояние от источника $S_1$ до линзы составляет $d_1 = 0.02$ м. Подставим известные значения в формулу тонкой линзы:$$ \frac{1}{0.02 \text{ м}} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} $$Выразим обратное расстояние до изображения $\frac{1}{f_1}$:$$ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} - \frac{1}{0.02 \text{ м}} = \frac{2 - 3}{0.06} \text{ м}^{-1} = -\frac{1}{0.06} \text{ м}^{-1} $$Отсюда находим расстояние до изображения $f_1$:$$ f_1 = -0.06 \text{ м} = -6 \text{ см} $$Знак «минус» указывает на то, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и источник. Таким образом, координата изображения $x'_1 = -6$ см.

Координата изображения источника S₂
Расстояние от источника $S_2$ до линзы составляет $d_2 = 0.05$ м. Подставим значения в формулу:$$ \frac{1}{0.05 \text{ м}} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} $$Выразим $\frac{1}{f_2}$:$$ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0.03 \text{ м}} - \frac{1}{0.05 \text{ м}} = \frac{5 - 3}{0.15} \text{ м}^{-1} = \frac{2}{0.15} \text{ м}^{-1} $$Отсюда находим расстояние до изображения $f_2$:$$ f_2 = \frac{0.15}{2} \text{ м} = 0.075 \text{ м} = 7.5 \text{ см} $$Знак «плюс» указывает на то, что изображение действительное и находится с противоположной стороны от линзы. Его координата $x'_2 = 7.5$ см.

Ответ:

Координата изображения источника $S_1$ равна -6 см. Координата изображения источника $S_2$ равна 7,5 см.