Номер 560, страница 171 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

560. Тонкая линза Л (рис. 166) с главными фокусами $F$ формирует изображение квадрата $ABCD$. Укажите координаты точек, в которых находятся изображения вершин этого квадрата.

Рис. 166

Дано:

Из рисунка 166 и условия задачи известны:

Линза Л — тонкая, собирающая.

Фокусное расстояние линзы: $f = 2$ см.

Координаты вершин квадрата ABCD:

A(-6; 0) см

B(-6; 2) см

C(-4; 2) см

D(-4; 0) см

Перевод в СИ:

Фокусное расстояние: $f = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Координаты вершин:

$x_A = -6 \text{ см} = -0.06 \text{ м}$, $y_A = 0 \text{ см} = 0 \text{ м}$

$x_B = -6 \text{ см} = -0.06 \text{ м}$, $y_B = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$x_C = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$, $y_C = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$x_D = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$, $y_D = 0 \text{ см} = 0 \text{ м}$

Найти:

Координаты изображений вершин A', B', C', D': $(x'_{A}, y'_{A})$, $(x'_{B}, y'_{B})$, $(x'_{C}, y'_{C})$, $(x'_{D}, y'_{D})$.

Решение:

Для определения координат изображений вершин квадрата воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой поперечного увеличения. Для удобства вычисления будем производить в сантиметрах.

Формула тонкой собирающей линзы: $1/d_o + 1/d_i = 1/f$, где $d_o$ — расстояние от предмета до оптического центра линзы, $d_i$ — расстояние от изображения до оптического центра, $f$ — фокусное расстояние.

Поперечное увеличение линзы $Г$ определяется как $Г = h_i / h_o = -d_i / d_o$, где $h_o$ — высота предмета (координата y), а $h_i$ — высота изображения (координата y').

Координата изображения по оси x будет равна $x' = d_i$ (для действительного изображения), а по оси y — $y' = h_i$.

Координаты изображения вершины A

Координаты точки A: $(-6; 0)$. Расстояние от предмета до линзы $d_{oA} = |-6| \text{ см} = 6 \text{ см}$. Высота $h_{oA} = 0 \text{ см}$.

Найдем расстояние до изображения $d_{iA}$:

$1/d_{iA} = 1/f - 1/d_{oA} = 1/2 - 1/6 = (3-1)/6 = 2/6 = 1/3 \text{ см}^{-1}$

$d_{iA} = 3 \text{ см}$.

Так как $d_{iA} > 0$, изображение действительное и находится с противоположной стороны линзы. Координата $x'_{A} = 3 \text{ см}$.

Поскольку точка A лежит на главной оптической оси ($h_{oA} = 0$), ее изображение A' также будет лежать на главной оптической оси, т.е. $y'_{A} = 0 \text{ см}$.

Ответ: Координаты изображения вершины A': (3; 0).

Координаты изображения вершины B

Координаты точки B: $(-6; 2)$. Расстояние от предмета до линзы $d_{oB} = |-6| \text{ см} = 6 \text{ см}$. Высота $h_{oB} = 2 \text{ см}$.

Расстояние до изображения $d_{iB}$ будет таким же, как для точки A, так как они находятся на одинаковом расстоянии от линзы: $d_{iB} = 3 \text{ см}$. Координата $x'_{B} = 3 \text{ см}$.

Найдем высоту изображения $h_{iB}$ (координату $y'_{B}$):

$y'_{B} = h_{oB} \cdot (-d_{iB} / d_{oB}) = 2 \cdot (-3 / 6) = 2 \cdot (-0.5) = -1 \text{ см}$.

Ответ: Координаты изображения вершины B': (3; -1).

Координаты изображения вершины C

Координаты точки C: $(-4; 2)$. Расстояние от предмета до линзы $d_{oC} = |-4| \text{ см} = 4 \text{ см}$. Высота $h_{oC} = 2 \text{ см}$.

Найдем расстояние до изображения $d_{iC}$:

$1/d_{iC} = 1/f - 1/d_{oC} = 1/2 - 1/4 = (2-1)/4 = 1/4 \text{ см}^{-1}$

$d_{iC} = 4 \text{ см}$.

Координата $x'_{C} = 4 \text{ см}$.

Найдем высоту изображения $h_{iC}$ (координату $y'_{C}$):

$y'_{C} = h_{oC} \cdot (-d_{iC} / d_{oC}) = 2 \cdot (-4 / 4) = 2 \cdot (-1) = -2 \text{ см}$.

Ответ: Координаты изображения вершины C': (4; -2).

Координаты изображения вершины D

Координаты точки D: $(-4; 0)$. Расстояние от предмета до линзы $d_{oD} = |-4| \text{ см} = 4 \text{ см}$. Высота $h_{oD} = 0 \text{ см}$.

Расстояние до изображения $d_{iD}$ будет таким же, как для точки C: $d_{iD} = 4 \text{ см}$. Координата $x'_{D} = 4 \text{ см}$.

Поскольку точка D лежит на главной оптической оси ($h_{oD} = 0$), ее изображение D' также будет лежать на главной оптической оси, т.е. $y'_{D} = 0 \text{ см}$.

Ответ: Координаты изображения вершины D': (4; 0).