Номер 920, страница 263 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

920. В баллоне вместимостью $V = 10$ л находится криптон ${}^{84}_{36}\text{Kr}$ при температуре $t = 27^\circ\text{C}$. Вследствие утечки газа давление в баллоне понизилось на $|\Delta p| = 4,14$ Па. Сколько нейтронов, входящих в состав ядер атомов криптона, вышло из баллона, если температура газа в баллоне не изменилась?

Дано:

$V = 10 \text{ л}$
$t = 27^\circ\text{С}$
$|\Delta p| = 4.14 \text{ Па}$
Газ - криптон $_{36}^{84}\text{Kr}$
$T = \text{const}$

$V = 10 \text{ л} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.01 \text{ м}^3$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$\Delta p = 4.14 \text{ Па}$

Найти:

$N_n - ?$

Решение:

Связь между давлением, объемом и температурой идеального газа описывается уравнением состояния, которое можно записать через число молекул (в нашем случае атомов):

$pV = NkT$

где $p$ - давление, $V$ - объем, $N$ - число атомов газа, $k$ - постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$), и $T$ - абсолютная температура.

Поскольку объем баллона $V$ и температура газа $T$ в процессе утечки не менялись, изменение давления $\Delta p$ вызвано исключительно изменением числа атомов газа $\Delta N$ в баллоне.

Запишем уравнения состояния для начального (1) и конечного (2) состояний:

$p_1V = N_1kT$

$p_2V = N_2kT$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти связь между изменением давления и изменением числа атомов:

$(p_1 - p_2)V = (N_1 - N_2)kT$

Здесь $p_1 - p_2 = \Delta p$ — это понижение давления, а $N_1 - N_2 = \Delta N$ — это число атомов криптона, которые вышли из баллона.

$\Delta p \cdot V = \Delta N \cdot kT$

Из этого соотношения мы можем выразить число утекших атомов $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{\Delta p \cdot V}{kT}$

Подставим известные значения в формулу:

$\Delta N = \frac{4.14 \text{ Па} \cdot 0.01 \text{ м}^3}{1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{0.0414}{414 \cdot 10^{-23}} = \frac{4.14 \cdot 10^{-2}}{4.14 \cdot 10^2 \cdot 10^{-23}} = 10^{19} \text{ атомов}$

Итак, из баллона вышло $10^{19}$ атомов криптона.

Теперь определим, сколько нейтронов содержится в одном ядре атома криптона $_{36}^{84}\text{Kr}$. Число нейтронов $n$ в ядре равно разности между массовым числом $A$ (верхний индекс) и зарядовым числом $Z$ (нижний индекс):

$n = A - Z = 84 - 36 = 48 \text{ нейтронов}$

Чтобы найти общее число нейтронов $N_n$, вышедших из баллона, необходимо умножить число вышедших атомов $\Delta N$ на число нейтронов в одном атоме $n$:

$N_n = \Delta N \cdot n = 10^{19} \cdot 48 = 4.8 \cdot 10^{20}$

Ответ: из баллона вышло $4.8 \cdot 10^{20}$ нейтронов.