Номер 923, страница 264 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

923. Масс-спектрометр — это прибор, предназначенный для определения атомных масс ионов. В этом приборе ионы, ускоряясь, проходят одинаковую разность потенциалов и с одинаковой кинетической энергией влетают в магнитное поле, в котором они движутся по дугам, радиусы которых зависят от атомной массы ионов. На рисунке 220 изображены траектории ионов, которые влетели в однородное магнитное поле, двигаясь вдоль оси $Ox$. Радиус траектории одного из ядер водорода равен $R_0$. Приведите в соответствие названия ядер нуклидов водорода и номера их траекторий в масс-спектрометре. Обоснуйте свой ответ.

Рис. 220

Название нуклида

Номер траектории

А) Протий $\text{^1H}$.

Б) Дейтерий $\text{^2H}$.

В) Тритий $\text{^3H}$.

1, 2, 3, 4, 5

Дано:

Нуклиды водорода: протий ($^1_1$Н), дейтерий ($^2_1$Н), тритий ($^3_1$Н).
Массы нуклидов соотносятся как $m_{_{^1H}} : m_{_{^2H}} : m_{_{^3H}} \approx 1:2:3$.
Ионы имеют одинаковую кинетическую энергию $E_k$.
Заряд ионов одинаков: $q=e$.
На рисунке показаны траектории с радиусами $R_5=R_0$, $R_4=2R_0$, $R_3=3R_0$, $R_2=4R_0$, $R_1=5R_0$.

Найти:

Установить соответствие между названиями нуклидов (А, Б, В) и номерами их траекторий в масс-спектрометре.

Решение:

На ион, движущийся в однородном магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л = qvB$. Эта сила является центростремительной ($F_ц = \frac{mv^2}{R}$) и заставляет ион двигаться по дуге окружности.

Приравнивая выражения для сил, получаем:$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус траектории иона:$R = \frac{mv}{qB}$

По условию задачи, все ионы ускоряются одинаковой разностью потенциалов и влетают в магнитное поле с одинаковой кинетической энергией $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Выразим скорость $v$ из этой формулы: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$.

Теперь подставим выражение для скорости в формулу для радиуса:

$R = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \frac{1}{qB}\sqrt{\frac{m^2 \cdot 2E_k}{m}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$

Из полученной формулы видно, что так как заряд $q$, индукция магнитного поля $B$ и кинетическая энергия $E_k$ одинаковы для всех ионов водорода, радиус их траектории $R$ прямо пропорционален квадратному корню из массы иона $m$: $R \propto \sqrt{m}$.

Это означает, что для протия (масса $m$), дейтерия (масса $\approx 2m$) и трития (масса $\approx 3m$) радиусы траекторий должны соотноситься как $\sqrt{1}:\sqrt{2}:\sqrt{3} \approx 1:1.41:1.73$.

Однако на приведённом рисунке радиусы траекторий 5, 4 и 3 соотносятся как $R_0 : 2R_0 : 3R_0$, то есть $1:2:3$. Такая линейная зависимость радиуса от массы ($R \propto m$) была бы справедлива, если бы все ионы имели одинаковую начальную скорость, а не кинетическую энергию. Вероятно, в условии задачи или на рисунке допущено упрощение. Для решения задачи будем исходить из соотношения радиусов, показанного на рисунке, то есть из предположения, что $R \propto m$.

При такой зависимости, чем больше масса иона, тем больше радиус его траектории. Сопоставим нуклиды с траекториями:

А) Протий $^1_1$Н.

Протий — самый легкий изотоп водорода, его относительная масса принимается за 1. Следовательно, он будет двигаться по траектории с наименьшим радиусом (среди трех рассматриваемых). В соотношении $1:2:3$ ему соответствует наименьший радиус. На рисунке это траектория 5 с радиусом $R_0$.

Ответ: 5

Б) Дейтерий $^2_1$Н.

Масса дейтерия примерно в 2 раза больше массы протия. Согласно принятому допущению ($R \propto m$), его радиус должен быть в 2 раза больше радиуса траектории протия: $2 \times R_0 = 2R_0$. Этому радиусу на рисунке соответствует траектория 4.

Ответ: 4

В) Тритий $^3_1$Н.

Масса трития примерно в 3 раза больше массы протия. Следовательно, его радиус должен быть в 3 раза больше радиуса траектории протия: $3 \times R_0 = 3R_0$. Этому радиусу на рисунке соответствует траектория 3.

Ответ: 3