Номер 929, страница 266 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

929. Определите энергию связи (в МэВ) ядра:

1) дейтерия $^{2}_{1}H$;

2) лития $^{7}_{3}Li$;

3) кремния $^{30}_{14}Si$;

4) бериллия $^{10}_{4}Be$.

Энергия связи ядра ($E_{связи}$) — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов). Она равна работе, которую нужно совершить, чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны. Энергия связи определяется дефектом масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна:

$E_{связи} = \Delta m \cdot c^2$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов, из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Для удобства расчетов используют массы нейтральных атомов в атомных единицах массы (а.е.м.). В этом случае формула для дефекта масс принимает вид:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_{атома}$

где $Z$ — число протонов, $N$ — число нейтронов ($N = A - Z$), $m_H$ — масса атома водорода $_1^1\text{H}$, $m_n$ — масса нейтрона, $m_{атома}$ — масса данного атома.

Энергию связи в МэВ (мегаэлектронвольтах) находят по формуле, используя энергетический эквивалент атомной единицы массы ($1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$):

$E_{связи} = \Delta m_{\text{в а.е.м.}} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

Для решения задачи будем использовать следующие справочные значения масс:

Масса атома водорода: $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Масса атома дейтерия $_1^2\text{H}$: $m_{атома}(_1^2\text{H}) = 2.014102 \text{ а.е.м.}$

Масса атома лития $_3^7\text{Li}$: $m_{атома}(_3^7\text{Li}) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

Масса атома кремния $_{14}^{30}\text{Si}$: $m_{атома}(_{14}^{30}\text{Si}) = 29.973770 \text{ а.е.м.}$

Масса атома бериллия $_4^{10}\text{Be}$: $m_{атома}(_4^{10}\text{Be}) = 10.013534 \text{ а.е.м.}$

1) дейтерия $_1^2\text{H}$

Дано:
Ядро дейтерия $_1^2\text{H}$
Число протонов $Z=1$
Число нейтронов $N = 2 - 1 = 1$
$m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
$m_{атома}(_1^2\text{H}) = 2.014102 \text{ а.е.м.}$

$1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_H \approx 1.67353 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_n \approx 1.67493 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_{атома}(_1^2\text{H}) \approx 3.34450 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:
$E_{связи}$

Решение:
1. Найдем суммарную массу нуклонов, из которых состоит ядро, в виде суммы масс атомов водорода и нейтронов:
Суммарная масса = $Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 1 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 1 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 2.016490 \text{ а.е.м.}$
2. Вычислим дефект масс $\Delta m$ как разность между суммарной массой компонентов и массой атома:
$\Delta m = 2.016490 \text{ а.е.м.} - 2.014102 \text{ а.е.м.} = 0.002388 \text{ а.е.м.}$
3. Рассчитаем энергию связи, умножив дефект масс на энергетический эквивалент 1 а.е.м.:
$E_{связи} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.002388 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 2.224 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи ядра дейтерия составляет $2.224 \text{ МэВ}$.

2) лития $_3^7\text{Li}$

Дано:
Ядро лития $_3^7\text{Li}$
Число протонов $Z=3$
Число нейтронов $N = 7 - 3 = 4$
$m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
$m_{атома}(_3^7\text{Li}) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_H \approx 1.67353 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_n \approx 1.67493 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_{атома}(_3^7\text{Li}) \approx 11.65035 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:
$E_{связи}$

Решение:
1. Суммарная масса компонентов:
$Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 3 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 4 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 3.023475 \text{ а.е.м.} + 4.034660 \text{ а.е.м.} = 7.058135 \text{ а.е.м.}$
2. Дефект масс:
$\Delta m = 7.058135 \text{ а.е.м.} - 7.016004 \text{ а.е.м.} = 0.042131 \text{ а.е.м.}$
3. Энергия связи:
$E_{связи} = 0.042131 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 39.245 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи ядра лития-7 составляет $39.245 \text{ МэВ}$.

3) кремния $_{14}^{30}\text{Si}$

Дано:
Ядро кремния $_{14}^{30}\text{Si}$
Число протонов $Z=14$
Число нейтронов $N = 30 - 14 = 16$
$m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
$m_{атома}(_{14}^{30}\text{Si}) = 29.973770 \text{ а.е.м.}$

$1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_H \approx 1.67353 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_n \approx 1.67493 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_{атома}(_{14}^{30}\text{Si}) \approx 49.77258 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:
$E_{связи}$

Решение:
1. Суммарная масса компонентов:
$Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 14 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 16 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 14.10955 \text{ а.е.м.} + 16.13864 \text{ а.е.м.} = 30.24819 \text{ а.е.м.}$
2. Дефект масс:
$\Delta m = 30.24819 \text{ а.е.м.} - 29.973770 \text{ а.е.м.} = 0.27442 \text{ а.е.м.}$
3. Энергия связи:
$E_{связи} = 0.27442 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 255.633 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи ядра кремния-30 составляет $255.633 \text{ МэВ}$.

4) бериллия $_4^{10}\text{Be}$

Дано:
Ядро бериллия $_4^{10}\text{Be}$
Число протонов $Z=4$
Число нейтронов $N = 10 - 4 = 6$
$m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$
$m_{атома}(_4^{10}\text{Be}) = 10.013534 \text{ а.е.м.}$

$1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_H \approx 1.67353 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_n \approx 1.67493 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$m_{атома}(_4^{10}\text{Be}) \approx 16.62788 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$
$1 \text{ МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:
$E_{связи}$

Решение:
1. Суммарная масса компонентов:
$Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 4 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 6 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.} = 4.031300 \text{ а.е.м.} + 6.051990 \text{ а.е.м.} = 10.08329 \text{ а.е.м.}$
2. Дефект масс:
$\Delta m = 10.08329 \text{ а.е.м.} - 10.013534 \text{ а.е.м.} = 0.069756 \text{ а.е.м.}$
3. Энергия связи:
$E_{связи} = 0.069756 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 64.977 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи ядра бериллия-10 составляет $64.977 \text{ МэВ}$.