Номер 930, страница 266 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

930. Определите удельную энергию связи ядра:

1) трития ${}_{1}^{3}\mathrm{H}$;

2) платины ${}_{78}^{196}\mathrm{Pt}$;

3) урана ${}_{92}^{238}\mathrm{U}$;

4) радия ${}_{88}^{226}\mathrm{Ra}$.

Дано:

Ядра: $_{1}^{3}\text{H}$, $_{78}^{196}\text{Pt}$, $_{92}^{238}\text{U}$, $_{88}^{226}\text{Ra}$

Справочные данные:

Масса атома водорода: $m_{H} = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_{n} = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Масса атома трития $_{1}^{3}\text{H}$: $m_{a} = 3.016049 \text{ а.е.м.}$

Масса атома платины $_{78}^{196}\text{Pt}$: $m_{a} = 195.964952 \text{ а.е.м.}$

Масса атома урана $_{92}^{238}\text{U}$: $m_{a} = 238.050788 \text{ а.е.м.}$

Масса атома радия $_{88}^{226}\text{Ra}$: $m_{a} = 226.025410 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $c^2 = 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

Для решения задачи расчеты будут производиться в атомных единицах массы (а.е.м.) и мегаэлектронвольтах (МэВ), что является общепринятым в ядерной физике. Ниже приведены данные в системе СИ для справки.

1 а.е.м. $ = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

1 МэВ $ = 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Удельную энергию связи $E_{уд}$ для каждого из заданных ядер.

Решение:

Удельная энергия связи ядра ($E_{уд}$) – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре. Она определяется по формуле:

$E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$

где $E_{св}$ – энергия связи ядра, $A$ – массовое число (общее число нуклонов в ядре).

Энергия связи ядра вычисляется на основе дефекта масс $\Delta m$ по формуле:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс – это разность между суммой масс всех нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра. При расчетах удобнее использовать массы атомов, так как массы электронов при этом сокращаются. Формула для дефекта масс через атомные массы:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{a}$

где $Z$ – число протонов, $N$ – число нейтронов ($N = A - Z$), $m_{H}$ – масса атома водорода, $m_{n}$ – масса нейтрона, $m_{a}$ – масса данного атома.

Используя энергетический эквивалент атомной единицы массы, получим:

$E_{св} (\text{МэВ}) = \Delta m (\text{а.е.м.}) \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

Рассчитаем удельную энергию связи для каждого ядра.

1) трития $_{1}^{3}\text{H}$

Для ядра трития: массовое число $A = 3$, число протонов $Z = 1$, число нейтронов $N = A - Z = 3 - 1 = 2$.

Найдем дефект масс:

$\Delta m = (1 \cdot m_{H} + 2 \cdot m_{n}) - m_{a}(_{1}^{3}\text{H})$

$\Delta m = (1 \cdot 1.007825 + 2 \cdot 1.008665) - 3.016049 = (1.007825 + 2.01733) - 3.016049 = 3.025155 - 3.016049 = 0.009106 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи:

$E_{св} = 0.009106 \cdot 931.5 = 8.4818 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи:

$E_{уд} = \frac{8.4818}{3} \approx 2.827 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: удельная энергия связи ядра трития равна $2.827$ МэВ/нуклон.

2) платины $_{78}^{196}\text{Pt}$

Для ядра платины-196: $A = 196$, $Z = 78$, $N = 196 - 78 = 118$.

Найдем дефект масс:

$\Delta m = (78 \cdot m_{H} + 118 \cdot m_{n}) - m_{a}(_{78}^{196}\text{Pt})$

$\Delta m = (78 \cdot 1.007825 + 118 \cdot 1.008665) - 195.964952 = (78.61035 + 119.02247) - 195.964952 = 197.63282 - 195.964952 = 1.667868 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи:

$E_{св} = 1.667868 \cdot 931.5 = 1553.47 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи:

$E_{уд} = \frac{1553.47}{196} \approx 7.926 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: удельная энергия связи ядра платины-196 равна $7.926$ МэВ/нуклон.

3) урана $_{92}^{238}\text{U}$

Для ядра урана-238: $A = 238$, $Z = 92$, $N = 238 - 92 = 146$.

Найдем дефект масс:

$\Delta m = (92 \cdot m_{H} + 146 \cdot m_{n}) - m_{a}(_{92}^{238}\text{U})$

$\Delta m = (92 \cdot 1.007825 + 146 \cdot 1.008665) - 238.050788 = (92.7199 + 147.26509) - 238.050788 = 239.98499 - 238.050788 = 1.934202 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи:

$E_{св} = 1.934202 \cdot 931.5 = 1801.69 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи:

$E_{уд} = \frac{1801.69}{238} \approx 7.570 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: удельная энергия связи ядра урана-238 равна $7.570$ МэВ/нуклон.

4) радия $_{88}^{226}\text{Ra}$

Для ядра радия-226: $A = 226$, $Z = 88$, $N = 226 - 88 = 138$.

Найдем дефект масс:

$\Delta m = (88 \cdot m_{H} + 138 \cdot m_{n}) - m_{a}(_{88}^{226}\text{Ra})$

$\Delta m = (88 \cdot 1.007825 + 138 \cdot 1.008665) - 226.025410 = (88.6886 + 139.19577) - 226.025410 = 227.88437 - 226.025410 = 1.85896 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи:

$E_{св} = 1.85896 \cdot 931.5 = 1731.53 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи:

$E_{уд} = \frac{1731.53}{226} \approx 7.662 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: удельная энергия связи ядра радия-226 равна $7.662$ МэВ/нуклон.