Номер 922, страница 264 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

922. *Свободные ядро золота $ {}^{200}_{79}\text{Au} $ и ядро хрома $ {}^{50}_{24}\text{Cr} $ вначале находились на большом расстоянии друг от друга и покоились. Потом ядру хрома сообщили скорость, направленную вдоль прямой, соединяющей его с ядром золота. Определите модуль начальной скорости, сообщенной ядру хрома, если минимальное расстояние, на которое сблизились ядра, $ r_{\min} = 5,3\text{ нм} $.

Дано:

Ядро золота: $^{200}_{79}\text{Au}$

Ядро хрома: $^{50}_{24}\text{Cr}$

Минимальное расстояние сближения: $r_{min} = 5,3 \text{ нм}$

Начальная скорость ядра золота: $v_{Au} = 0$

Начальная скорость ядра хрома: $v_{Cr} = v_0$

Элементарный заряд: $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Электрическая постоянная: $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Атомная единица массы: $a.e.м. \approx 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$r_{min} = 5,3 \text{ нм} = 5.3 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$v_0$

Решение:

Рассмотрим систему из двух ядер. Поскольку внешние силы, действующие на систему, пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами (кулоновское отталкивание), систему можно считать замкнутой. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения полной механической энергии.

Обозначим массу и заряд ядра золота как $m_1$ и $q_1$, а ядра хрома — как $m_2$ и $q_2$.

$m_1 = A_1 \cdot a.e.м. = 200 \cdot a.e.м.$
$q_1 = Z_1 \cdot e = 79e$
$m_2 = A_2 \cdot a.e.м. = 50 \cdot a.e.м.$
$q_2 = Z_2 \cdot e = 24e$

1. Закон сохранения импульса.
В начальный момент времени, когда ядра находятся далеко друг от друга, импульс системы равен импульсу движущегося ядра хрома, так как ядро золота покоится: $p_{нач} = m_2 v_0$. В момент максимального сближения на расстояние $r_{min}$ относительная скорость ядер равна нулю, то есть они движутся как единое целое с некоторой одинаковой скоростью $u$. Импульс системы в этот момент: $p_{кон} = (m_1 + m_2) u$. Согласно закону сохранения импульса, $p_{нач} = p_{кон}$: $m_2 v_0 = (m_1 + m_2) u$. Отсюда можно выразить скорость $u$: $u = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2}$.

2. Закон сохранения энергии.
В начальный момент времени полная энергия системы состоит только из кинетической энергии ядра хрома. Потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь, так как расстояние между ними велико ($r \to \infty$): $E_{нач} = K_{нач} = \frac{m_2 v_0^2}{2}$. В момент максимального сближения полная энергия системы складывается из кинетической энергии совместного движения ядер и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия: $E_{кон} = K_{кон} + U_{кон} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$. Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$: $\frac{m_2 v_0^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$.

Подставим выражение для скорости $u$ из закона сохранения импульса в закон сохранения энергии: $\frac{m_2 v_0^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$ $\frac{m_2 v_0^2}{2} = \frac{m_2^2 v_0^2}{2 (m_1 + m_2)} + \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$. Сгруппируем слагаемые с $v_0^2$: $\frac{v_0^2}{2} \left( m_2 - \frac{m_2^2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$ $\frac{v_0^2}{2} \left( \frac{m_2(m_1 + m_2) - m_2^2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$ $\frac{v_0^2}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{k q_1 q_2}{r_{min}}$. Выразим начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = \frac{2k q_1 q_2 (m_1 + m_2)}{r_{min} m_1 m_2}$. Подставив выражения для масс и зарядов через массовые и зарядовые числа, получим: $v_0 = \sqrt{\frac{2k (Z_1 e) (Z_2 e) (A_1 + A_2) \cdot a.e.м.}{r_{min} (A_1 \cdot a.e.м.) (A_2 \cdot a.e.м.)}} = \sqrt{\frac{2k Z_1 Z_2 e^2 (A_1 + A_2)}{r_{min} A_1 A_2 \cdot a.e.м.}}$.

Подставим числовые значения: $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot 79 \cdot 24 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot (200 + 50)}{5.3 \cdot 10^{-9} \cdot 200 \cdot 50 \cdot (1.66 \cdot 10^{-27})}}$ $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 79 \cdot 24 \cdot 2.56 \cdot 250 \cdot 10^9 \cdot 10^{-38}}{5.3 \cdot 10000 \cdot 1.66 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{2.184 \cdot 10^{-22}}{8.798 \cdot 10^{-32}}}$ $v_0 \approx \sqrt{0.248 \cdot 10^{10}} = \sqrt{2.48 \cdot 10^9} \approx 49800 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Округляя до двух значащих цифр (как в $r_{min}$): $v_0 \approx 5.0 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: $5.0 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.