Номер 19, страница 108 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. При каких натуральных значениях $a$ одновременно:

а) дробь $\frac{a}{8}$ будет правильной, а дробь $\frac{a}{6}$ будет неправильной;

б) дробь $\frac{a}{10}$ будет правильной, а дробь $\frac{a}{7}$ будет неправильной?

а)

Чтобы найти искомые натуральные значения $a$, необходимо выполнить два условия одновременно. Разберем каждое из них.

1. Дробь $\frac{a}{8}$ является правильной. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Следовательно, должно выполняться неравенство: $a < 8$.

2. Дробь $\frac{a}{6}$ является неправильной. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, должно выполняться неравенство: $a \ge 6$.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $a$, которые удовлетворяют системе неравенств: $\begin{cases} a < 8 \\ a \ge 6 \end{cases}$

Перебирая натуральные числа, находим, что этому условию удовлетворяют числа 6 и 7.
При $a = 6$: дробь $\frac{6}{8}$ — правильная, дробь $\frac{6}{6}$ — неправильная. Условия выполнены.
При $a = 7$: дробь $\frac{7}{8}$ — правильная, дробь $\frac{7}{6}$ — неправильная. Условия выполнены.

Ответ: 6, 7.

б)

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту.

1. Дробь $\frac{a}{10}$ является правильной, значит, числитель меньше знаменателя: $a < 10$.

2. Дробь $\frac{a}{7}$ является неправильной, значит, числитель больше или равен знаменателю: $a \ge 7$.

Объединим эти два условия в систему неравенств для натурального числа $a$: $\begin{cases} a < 10 \\ a \ge 7 \end{cases}$

Натуральными числами, которые одновременно больше или равны 7 и меньше 10, являются числа 7, 8 и 9.

Ответ: 7, 8, 9.