Номер 22, страница 108 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

22. При каком натуральном значении t:

а) значение дроби $ \frac{t+14}{t+5} $ есть натуральное число;

б) значение дроби $ \frac{t+21}{t+5} $ есть натуральное число?

По условию, $t$ — натуральное число, то есть $t \in \{1, 2, 3, ...\}$. Требуется найти все такие $t$, при которых значение дроби $ \frac{t+14}{t+5} $ является натуральным числом.

Для того чтобы дробь была натуральным числом, необходимо, чтобы её значение было целым и положительным. Поскольку $t$ — натуральное, то $t+14 > 0$ и $t+5 > 0$, так что дробь всегда положительна. Условие сводится к тому, что числитель должен делиться на знаменатель нацело.

Преобразуем дробь, выделив в числителе выражение, равное знаменателю:

$ \frac{t+14}{t+5} = \frac{(t+5)+9}{t+5} = \frac{t+5}{t+5} + \frac{9}{t+5} = 1 + \frac{9}{t+5} $

Чтобы сумма $ 1 + \frac{9}{t+5} $ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $ \frac{9}{t+5} $ было натуральным числом. Это, в свою очередь, означает, что знаменатель $t+5$ должен быть натуральным делителем числа 9.

Натуральные делители числа 9: 1, 3, 9.

Так как по условию $t$ — натуральное число, то $t \ge 1$. Следовательно, для знаменателя $t+5$ выполняется неравенство $t+5 \ge 1+5$, то есть $t+5 \ge 6$.

Из всех делителей числа 9 (1, 3, 9) только один удовлетворяет условию $t+5 \ge 6$ — это число 9.

Значит, $t+5=9$.

Отсюда находим $t$: $t = 9-5 = 4$.

Число 4 является натуральным, значит, это искомое значение.

Проверка: при $t=4$ значение дроби равно $ \frac{4+14}{4+5} = \frac{18}{9} = 2 $. Число 2 — натуральное.

Ответ: 4.

Аналогично пункту а), найдем все натуральные $t$, при которых значение дроби $ \frac{t+21}{t+5} $ является натуральным числом.

Преобразуем дробь, выделив целую часть:

$ \frac{t+21}{t+5} = \frac{(t+5)+16}{t+5} = \frac{t+5}{t+5} + \frac{16}{t+5} = 1 + \frac{16}{t+5} $

Чтобы сумма $ 1 + \frac{16}{t+5} $ была натуральным числом, необходимо, чтобы дробь $ \frac{16}{t+5} $ была натуральным числом. Для этого знаменатель $t+5$ должен быть натуральным делителем числа 16.

Натуральные делители числа 16: 1, 2, 4, 8, 16.

Поскольку $t$ — натуральное число, то $t \ge 1$, а значит $t+5 \ge 6$.

Из всех делителей числа 16 (1, 2, 4, 8, 16) выберем те, которые удовлетворяют условию $t+5 \ge 6$. Это числа 8 и 16.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $t+5 = 8$. Отсюда $t = 8-5 = 3$. Число 3 является натуральным.
2. $t+5 = 16$. Отсюда $t = 16-5 = 11$. Число 11 является натуральным.

Таким образом, мы нашли два натуральных значения $t$, удовлетворяющих условию.

Проверка:

• При $t=3$ значение дроби равно $ \frac{3+21}{3+5} = \frac{24}{8} = 3 $. Число 3 — натуральное.
• При $t=11$ значение дроби равно $ \frac{11+21}{11+5} = \frac{32}{16} = 2 $. Число 2 — натуральное.

Ответ: 3, 11.