Номер 3, страница 109 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Сравните дроби с разными знаменателями:

а) $&frac19;$ и $⅖$; $⅚$ и $⅔$; $&frac5{12}$ и $&frac7{18}$;

б) $⅙$ и $&frac37;$; $⅗$ и $&frac2{15}$; $⅜$ и $&frac5{12}$.

а)

Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{2}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 9 и 5. Так как 9 и 5 взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: $НОК(9, 5) = 9 \cdot 5 = 45$.
Приведем каждую дробь к знаменателю 45, домножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:
Для дроби $\frac{1}{9}$ дополнительный множитель равен $45 \div 9 = 5$. Получаем: $\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{5}{45}$.
Для дроби $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель равен $45 \div 5 = 9$. Получаем: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{18}{45}$.
Теперь сравним полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $5 < 18$.
Следовательно, $\frac{5}{45} < \frac{18}{45}$, а значит и $\frac{1}{9} < \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{9} < \frac{2}{5}$.

Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$.
Общий знаменатель для 6 и 3 это 6, так как $НОК(6, 3) = 6$.
Первая дробь $\frac{5}{6}$ уже имеет нужный знаменатель.
Приведем вторую дробь к знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Сравниваем числители: $5 > 4$.
Следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{4}{6}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{2}{3}$.

Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$.
Найдем НОК для знаменателей 12 и 18. Для этого разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
$НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$
$\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$
Сравниваем числители: $15 > 14$.
Следовательно, $\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$, а значит $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
Ответ: $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.

б)

Сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{7}$.
Найдем общий знаменатель. $НОК(6, 7) = 6 \cdot 7 = 42$.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{18}{42}$
Сравниваем числители: $7 < 18$.
Следовательно, $\frac{7}{42} < \frac{18}{42}$, а значит $\frac{1}{6} < \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{6} < \frac{3}{7}$.

Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{15}$.
Найдем общий знаменатель. $НОК(5, 15) = 15$.
Приведем первую дробь к знаменателю 15: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Вторая дробь $\frac{2}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.
Сравниваем числители: $9 > 2$.
Следовательно, $\frac{9}{15} > \frac{2}{15}$, а значит $\frac{3}{5} > \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{3}{5} > \frac{2}{15}$.

Сравним дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$.
Найдем НОК для знаменателей 8 и 12. Разложим их на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$
Сравниваем числители: $9 < 10$.
Следовательно, $\frac{9}{24} < \frac{10}{24}$, а значит $\frac{3}{8} < \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{8} < \frac{5}{12}$.