Номер 2, страница 109 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) $&frac{1}{6}$ и $&frac{2}{5}$; $&frac{5}{12}$ и $&frac{3}{4}$; $&frac{7}{18}$ и $&frac{2}{15}$; $&frac{5}{9}$, $&frac{1}{6}$ и $&frac{7}{12}$;

б) $&frac{2}{7}$ и $&frac{1}{8}$; $&frac{3}{5}$ и $&frac{7}{20}$; $&frac{9}{20}$ и $&frac{3}{16}$; $&frac{3}{8}$, $&frac{1}{6}$ и $&frac{5}{12}$.

а)

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{2}{5} $:
Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей 6 и 5.
Поскольку 6 и 5 - взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: НОК(6, 5) = $6 \times 5 = 30$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{1}{6} $: $30 \div 6 = 5$.
Для $ \frac{2}{5} $: $30 \div 5 = 6$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30} $
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30} $
Ответ: $ \frac{5}{30} $ и $ \frac{12}{30} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{3}{4} $:
Найдем НОК знаменателей 12 и 4. Так как 12 делится на 4 без остатка, НОК(12, 4) = 12.
Дополнительный множитель для дроби $ \frac{5}{12} $ равен 1 (дробь не изменяется).
Дополнительный множитель для дроби $ \frac{3}{4} $ равен $12 \div 4 = 3$.
Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $
Ответ: $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{9}{12} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{7}{18} $ и $ \frac{2}{15} $:
Найдем НОК знаменателей 18 и 15. Разложим их на простые множители:
$ 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 $
$ 15 = 3 \times 5 $
НОК(18, 15) = $2 \times 3^2 \times 5 = 90$.
Дополнительные множители:
Для $ \frac{7}{18} $: $90 \div 18 = 5$.
Для $ \frac{2}{15} $: $90 \div 15 = 6$.
Приведем дроби к знаменателю 90:
$ \frac{7}{18} = \frac{7 \times 5}{18 \times 5} = \frac{35}{90} $
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \times 6}{15 \times 6} = \frac{12}{90} $
Ответ: $ \frac{35}{90} $ и $ \frac{12}{90} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{5}{9} $, $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{7}{12} $:
Найдем НОК знаменателей 9, 6 и 12. Разложим их на простые множители:
$ 9 = 3^2 $
$ 6 = 2 \times 3 $
$ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $
НОК(9, 6, 12) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
Дополнительные множители:
Для $ \frac{5}{9} $: $36 \div 9 = 4$.
Для $ \frac{1}{6} $: $36 \div 6 = 6$.
Для $ \frac{7}{12} $: $36 \div 12 = 3$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$ \frac{5}{9} = \frac{5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{20}{36} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 6}{6 \times 6} = \frac{6}{36} $
$ \frac{7}{12} = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} = \frac{21}{36} $
Ответ: $ \frac{20}{36} $, $ \frac{6}{36} $ и $ \frac{21}{36} $.

б)

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{8} $:
Найдем НОК знаменателей 7 и 8. Так как 7 и 8 - взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: НОК(7, 8) = $7 \times 8 = 56$.
Дополнительные множители:
Для $ \frac{2}{7} $: $56 \div 7 = 8$.
Для $ \frac{1}{8} $: $56 \div 8 = 7$.
Приведем дроби к знаменателю 56:
$ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 8}{7 \times 8} = \frac{16}{56} $
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56} $
Ответ: $ \frac{16}{56} $ и $ \frac{7}{56} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{7}{20} $:
Найдем НОК знаменателей 5 и 20. Так как 20 делится на 5 без остатка, НОК(5, 20) = 20.
Дополнительный множитель для дроби $ \frac{7}{20} $ равен 1 (дробь не изменяется).
Дополнительный множитель для дроби $ \frac{3}{5} $ равен $20 \div 5 = 4$.
Приведем дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 20:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20} $
Ответ: $ \frac{12}{20} $ и $ \frac{7}{20} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{9}{20} $ и $ \frac{3}{16} $:
Найдем НОК знаменателей 20 и 16. Разложим их на простые множители:
$ 20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5 $
$ 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 $
НОК(20, 16) = $2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$.
Дополнительные множители:
Для $ \frac{9}{20} $: $80 \div 20 = 4$.
Для $ \frac{3}{16} $: $80 \div 16 = 5$.
Приведем дроби к знаменателю 80:
$ \frac{9}{20} = \frac{9 \times 4}{20 \times 4} = \frac{36}{80} $
$ \frac{3}{16} = \frac{3 \times 5}{16 \times 5} = \frac{15}{80} $
Ответ: $ \frac{36}{80} $ и $ \frac{15}{80} $.

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $ \frac{3}{8} $, $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{5}{12} $:
Найдем НОК знаменателей 8, 6 и 12. Разложим их на простые множители:
$ 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 $
$ 6 = 2 \times 3 $
$ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $
НОК(8, 6, 12) = $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$.
Дополнительные множители:
Для $ \frac{3}{8} $: $24 \div 8 = 3$.
Для $ \frac{1}{6} $: $24 \div 6 = 4$.
Для $ \frac{5}{12} $: $24 \div 12 = 2$.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24} $
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \times 2}{12 \times 2} = \frac{10}{24} $
Ответ: $ \frac{9}{24} $, $ \frac{4}{24} $ и $ \frac{10}{24} $.