Номер 21, страница 108 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

21. Найдите три натуральных значения $y$, при которых дробь $\frac{8}{12-y}$ будет:

а) правильной;

б) неправильной.

а) правильной

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. При этом и числитель, и знаменатель должны быть натуральными (положительными целыми) числами. В дроби $\frac{8}{12-y}$ числитель равен 8.

Для того чтобы дробь имела смысл и знаменатель был натуральным числом, должно выполняться условие:

$12 - y > 0$

Отсюда следует, что $y < 12$. Также по условию $y$ — натуральное число, то есть $y \ge 1$.

Теперь запишем условие того, что дробь является правильной:

Числитель < Знаменатель

$8 < 12 - y$

Решим это неравенство:

$y < 12 - 8$

$y < 4$

Нам необходимо найти три натуральных значения $y$, которые удовлетворяют условию $y < 4$. Такими значениями являются 1, 2 и 3.

Проверим:
- если $y=1$, дробь равна $\frac{8}{12-1} = \frac{8}{11}$ (правильная);
- если $y=2$, дробь равна $\frac{8}{12-2} = \frac{8}{10}$ (правильная);
- если $y=3$, дробь равна $\frac{8}{12-3} = \frac{8}{9}$ (правильная).

Ответ: 1, 2, 3.

б) неправильной

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Как и в предыдущем пункте, знаменатель $12-y$ должен быть натуральным числом, что означает $y < 12$.

Запишем условие того, что дробь является неправильной:

Числитель ≥ Знаменатель

$8 \ge 12 - y$

Решим это неравенство:

$y \ge 12 - 8$

$y \ge 4$

Теперь нам нужно найти три натуральных значения $y$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно: $y \ge 4$ и $y < 12$. Этим условиям удовлетворяют все целые числа от 4 до 11 включительно: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

Мы можем выбрать любые три числа из этого множества. Например, выберем 4, 5 и 6.

Проверим:
- если $y=4$, дробь равна $\frac{8}{12-4} = \frac{8}{8}$ (неправильная);
- если $y=5$, дробь равна $\frac{8}{12-5} = \frac{8}{7}$ (неправильная);
- если $y=6$, дробь равна $\frac{8}{12-6} = \frac{8}{6}$ (неправильная).

Ответ: 4, 5, 6 (или любые другие три числа из множества {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}).