Номер 5, страница 109 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Запишите дроби в порядке возрастания:

a) $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{10}$ и $\frac{11}{15}$;

б) $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{10}$ и $\frac{11}{12}$.

а) Чтобы расположить дроби $ \frac{5}{6} $, $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{11}{15} $ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 10 и 15.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
НОК(6, 10, 15) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $. Таким образом, общий знаменатель равен 30.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 30, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot (30 \div 6)}{30} = \frac{5 \cdot 5}{30} = \frac{25}{30} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot (30 \div 10)}{30} = \frac{3 \cdot 3}{30} = \frac{9}{30} $
$ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot (30 \div 15)}{30} = \frac{11 \cdot 2}{30} = \frac{22}{30} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сравнить их числители: $ 9 < 22 < 25 $.
Следовательно, порядок дробей следующий: $ \frac{9}{30} < \frac{22}{30} < \frac{25}{30} $.
Заменив дроби на их исходные значения, получаем: $ \frac{3}{10} < \frac{11}{15} < \frac{5}{6} $.

Ответ: $ \frac{3}{10}, \frac{11}{15}, \frac{5}{6} $.

б) Чтобы расположить дроби $ \frac{5}{6} $, $ \frac{7}{10} $ и $ \frac{11}{12} $ в порядке возрастания, приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 6, 10 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ 12 = 2^2 \cdot 3 $
НОК(6, 10, 12) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60 $. Таким образом, общий знаменатель равен 60.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot (60 \div 6)}{60} = \frac{5 \cdot 10}{60} = \frac{50}{60} $
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot (60 \div 10)}{60} = \frac{7 \cdot 6}{60} = \frac{42}{60} $
$ \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot (60 \div 12)}{60} = \frac{11 \cdot 5}{60} = \frac{55}{60} $

Сравниваем числители полученных дробей: $ 42 < 50 < 55 $.
Следовательно, порядок дробей следующий: $ \frac{42}{60} < \frac{50}{60} < \frac{55}{60} $.
Заменив дроби на их исходные значения, получаем: $ \frac{7}{10} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12} $.

Ответ: $ \frac{7}{10}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12} $.