Номер 12, страница 111 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. а) На проезд из одного города в другой на легковом автомобиле затрачивается 6 ч, а на грузовом — 9 ч. Какой автомобиль преодолеет больший путь: легковой за 5 ч или грузовой за 7 ч?

б) Катер проходит путь между двумя пристанями за 8 ч, а теплоход — за 12 ч. Какое расстояние меньше: пройденное катером за 5 ч или пройденное теплоходом за 7 ч?

а)

Чтобы определить, какой автомобиль преодолеет больший путь, нужно сравнить доли от общего расстояния, которые каждый из них проедет за указанное время.

Пусть все расстояние между городами равно $S$.

Легковой автомобиль проезжает все расстояние за 6 часов. Значит, его скорость $v_л = S/6$. За 1 час он проезжает $1/6$ всего пути.
Грузовой автомобиль проезжает то же расстояние за 9 часов. Его скорость $v_г = S/9$. За 1 час он проезжает $1/9$ всего пути.

1. Найдем, какую часть пути проедет легковой автомобиль за 5 часов:
$S_л = v_л \cdot 5 = (S/6) \cdot 5 = 5S/6$. То есть, он проедет $5/6$ всего пути.

2. Найдем, какую часть пути проедет грузовой автомобиль за 7 часов:
$S_г = v_г \cdot 7 = (S/9) \cdot 7 = 7S/9$. То есть, он проедет $7/9$ всего пути.

3. Сравним полученные доли (дроби) $5/6$ и $7/9$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 это 18.
$5/6 = (5 \cdot 3) / (6 \cdot 3) = 15/18$
$7/9 = (7 \cdot 2) / (9 \cdot 2) = 14/18$

Поскольку $15/18 > 14/18$, то и $5/6 > 7/9$. Это означает, что $S_л > S_г$.

Ответ: легковой автомобиль за 5 часов преодолеет больший путь.

б)

Чтобы определить, какое расстояние меньше, нужно сравнить доли от общего пути, которые пройдет каждое судно за указанное время.

Пусть все расстояние между пристанями равно $S$.

Катер проходит все расстояние за 8 часов. Значит, его скорость $v_к = S/8$. За 1 час он проходит $1/8$ всего пути.
Теплоход проходит то же расстояние за 12 часов. Его скорость $v_т = S/12$. За 1 час он проходит $1/12$ всего пути.

1. Найдем, какую часть пути пройдет катер за 5 часов:
$S_к = v_к \cdot 5 = (S/8) \cdot 5 = 5S/8$. То есть, он пройдет $5/8$ всего пути.

2. Найдем, какую часть пути пройдет теплоход за 7 часов:
$S_т = v_т \cdot 7 = (S/12) \cdot 7 = 7S/12$. То есть, он пройдет $7/12$ всего пути.

3. Сравним полученные доли (дроби) $5/8$ и $7/12$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 это 24.
$5/8 = (5 \cdot 3) / (8 \cdot 3) = 15/24$
$7/12 = (7 \cdot 2) / (12 \cdot 2) = 14/24$

Поскольку $14/24 < 15/24$, то и $7/12 < 5/8$. Это означает, что $S_т < S_к$.

Ответ: расстояние, пройденное теплоходом за 7 часов, меньше.