Номер 13, страница 111 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. Сравните дроби:

а) $\frac{47}{99}$ и $\frac{4747}{9999}$;

б) $\frac{117}{125}$ и $\frac{117117}{125125}$.

а) Сравним дроби $ \frac{47}{99} $ и $ \frac{4747}{9999} $.

Для того чтобы сравнить эти две дроби, мы можем либо привести их к общему знаменателю, либо попытаться упростить одну из них. Рассмотрим вторую дробь $ \frac{4747}{9999} $.

Заметим, что числитель и знаменатель этой дроби имеют повторяющиеся группы цифр. Мы можем представить их в следующем виде:

Числитель: $ 4747 = 4700 + 47 = 47 \times 100 + 47 \times 1 = 47 \times (100 + 1) = 47 \times 101 $.

Знаменатель: $ 9999 = 9900 + 99 = 99 \times 100 + 99 \times 1 = 99 \times (100 + 1) = 99 \times 101 $.

Теперь мы можем подставить эти выражения обратно в дробь и сократить ее:

$ \frac{4747}{9999} = \frac{47 \times 101}{99 \times 101} $

Сократив общий множитель 101 в числителе и знаменателе, получаем:

$ \frac{47 \times 101}{99 \times 101} = \frac{47}{99} $

Таким образом, вторая дробь равна первой. Следовательно, дроби равны.

$ \frac{47}{99} = \frac{4747}{9999} $

Ответ: дроби равны.

б) Сравним дроби $ \frac{117}{125} $ и $ \frac{117117}{125125} $.

Поступим аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим вторую дробь $ \frac{117117}{125125} $ и попробуем ее упростить.

Представим числитель и знаменатель в виде произведения:

Числитель: $ 117117 = 117000 + 117 = 117 \times 1000 + 117 \times 1 = 117 \times (1000 + 1) = 117 \times 1001 $.

Знаменатель: $ 125125 = 125000 + 125 = 125 \times 1000 + 125 \times 1 = 125 \times (1000 + 1) = 125 \times 1001 $.

Подставим эти выражения в дробь:

$ \frac{117117}{125125} = \frac{117 \times 1001}{125 \times 1001} $

Сократим общий множитель 1001 в числителе и знаменателе:

$ \frac{117 \times 1001}{125 \times 1001} = \frac{117}{125} $

Получили, что вторая дробь в точности равна первой. Следовательно, дроби равны.

$ \frac{117}{125} = \frac{117117}{125125} $

Ответ: дроби равны.