Номер 2, страница 111 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Выполните сложение (вычитание) дробей с взаимно простыми знаменателями:

а) $ \frac{1}{4} + \frac{2}{7} $; $ \frac{2}{5} - \frac{3}{8} $; $ \frac{7}{10} + \frac{5}{11} $;

б) $ \frac{3}{5} + \frac{1}{9} $; $ \frac{5}{6} - \frac{4}{7} $; $ \frac{8}{13} + \frac{7}{10} $.

а)

$ \frac{1}{4} + \frac{2}{7} $
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Поскольку знаменатели 4 и 7 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 4 \cdot 7 = 28 $.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 28. Дополнительный множитель для первой дроби равен $ 28 \div 4 = 7 $. Для второй дроби — $ 28 \div 7 = 4 $.
$ \frac{1}{4} + \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{8}{28} = \frac{7+8}{28} = \frac{15}{28} $.
Ответ: $ \frac{15}{28} $

$ \frac{2}{5} - \frac{3}{8} $
Знаменатели 5 и 8 взаимно простые, поэтому общий знаменатель равен $ 5 \cdot 8 = 40 $.
$ \frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{16}{40} - \frac{15}{40} = \frac{16-15}{40} = \frac{1}{40} $.
Ответ: $ \frac{1}{40} $

$ \frac{7}{10} + \frac{5}{11} $
Знаменатели 10 и 11 взаимно простые, общий знаменатель равен $ 10 \cdot 11 = 110 $.
$ \frac{7}{10} + \frac{5}{11} = \frac{7 \cdot 11}{10 \cdot 11} + \frac{5 \cdot 10}{11 \cdot 10} = \frac{77}{110} + \frac{50}{110} = \frac{77+50}{110} = \frac{127}{110} $.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ 127 \div 110 = 1 $ и $ 17 $ в остатке. Таким образом, $ \frac{127}{110} = 1\frac{17}{110} $.
Ответ: $ 1\frac{17}{110} $

б)

$ \frac{3}{5} + \frac{1}{9} $
Знаменатели 5 и 9 взаимно простые, общий знаменатель равен $ 5 \cdot 9 = 45 $.
$ \frac{3}{5} + \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{27}{45} + \frac{5}{45} = \frac{27+5}{45} = \frac{32}{45} $.
Ответ: $ \frac{32}{45} $

$ \frac{5}{6} - \frac{4}{7} $
Знаменатели 6 и 7 взаимно простые, общий знаменатель равен $ 6 \cdot 7 = 42 $.
$ \frac{5}{6} - \frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{35}{42} - \frac{24}{42} = \frac{35-24}{42} = \frac{11}{42} $.
Ответ: $ \frac{11}{42} $

$ \frac{8}{13} + \frac{7}{10} $
Знаменатели 13 и 10 взаимно простые, общий знаменатель равен $ 13 \cdot 10 = 130 $.
$ \frac{8}{13} + \frac{7}{10} = \frac{8 \cdot 10}{13 \cdot 10} + \frac{7 \cdot 13}{10 \cdot 13} = \frac{80}{130} + \frac{91}{130} = \frac{80+91}{130} = \frac{171}{130} $.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ 171 \div 130 = 1 $ и $ 41 $ в остатке. Таким образом, $ \frac{171}{130} = 1\frac{41}{130} $.
Ответ: $ 1\frac{41}{130} $