Номер 10, страница 110 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Найдите дробь:

а) со знаменателем 11, которая больше $ \frac{7}{9} $, но меньше $ \frac{8}{9} $;

б) со знаменателем 13, которая больше $ \frac{7}{9} $, но меньше $ \frac{8}{9} $.

а) Нам нужно найти дробь со знаменателем 11, которая находится между дробями $\frac{7}{9}$ и $\frac{8}{9}$. Обозначим числитель искомой дроби как $x$. Тогда мы можем записать следующее двойное неравенство:

$\frac{7}{9} < \frac{x}{11} < \frac{8}{9}$

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 9 и 11 является их произведение: $9 \times 11 = 99$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 99:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 11}{9 \times 11} = \frac{77}{99}$

$\frac{8}{9} = \frac{8 \times 11}{9 \times 11} = \frac{88}{99}$

$\frac{x}{11} = \frac{x \times 9}{11 \times 9} = \frac{9x}{99}$

Теперь подставим эти значения обратно в неравенство:

$\frac{77}{99} < \frac{9x}{99} < \frac{88}{99}$

Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители:

$77 < 9x < 88$

Теперь нам нужно найти такое целое число $x$, чтобы произведение $9x$ находилось в интервале от 77 до 88. Проверим числа, кратные 9, в этом диапазоне:

$9 \times 8 = 72$ (слишком мало)

$9 \times 9 = 81$ (подходит, так как $77 < 81 < 88$)

$9 \times 10 = 90$ (слишком много)

Единственное целое значение для $x$, которое удовлетворяет условию, это 9. Значит, искомая дробь — $\frac{9}{11}$.

Ответ: $\frac{9}{11}$

б) Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти дробь со знаменателем 13, которая больше $\frac{7}{9}$, но меньше $\frac{8}{9}$. Обозначим числитель этой дроби как $y$. Запишем неравенство:

$\frac{7}{9} < \frac{y}{13} < \frac{8}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 13 равен $9 \times 13 = 117$.

Преобразуем дроби:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 13}{9 \times 13} = \frac{91}{117}$

$\frac{8}{9} = \frac{8 \times 13}{9 \times 13} = \frac{104}{117}$

$\frac{y}{13} = \frac{y \times 9}{13 \times 9} = \frac{9y}{117}$

Подставим преобразованные дроби в неравенство:

$\frac{91}{117} < \frac{9y}{117} < \frac{104}{117}$

Сравним числители:

$91 < 9y < 104$

Найдем целое число $y$, для которого произведение $9y$ находится между 91 и 104. Рассмотрим числа, кратные 9:

$9 \times 10 = 90$ (слишком мало)

$9 \times 11 = 99$ (подходит, так как $91 < 99 < 104$)

$9 \times 12 = 108$ (слишком много)

Единственное подходящее целое значение для $y$ — это 11. Таким образом, искомая дробь равна $\frac{11}{13}$.

Ответ: $\frac{11}{13}$