Номер 4, страница 112 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Выполните сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями:

a) $ \frac{8}{15} + \frac{7}{12} $; $ \frac{21}{50} - \frac{7}{30} $; $ \frac{5}{42} + \frac{5}{36} $

б) $ \frac{11}{24} + \frac{4}{15} $; $ \frac{11}{30} - \frac{7}{80} $; $ \frac{19}{35} + \frac{10}{21} $

а)

Решение для $ \frac{8}{15} + \frac{7}{12} $:
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 15 и 12.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $
НОК(15, 12) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби (разделив НОК на знаменатель) и выполним сложение:
$ \frac{8}{15} + \frac{7}{12} = \frac{8 \cdot (60/15)}{60} + \frac{7 \cdot (60/12)}{60} = \frac{8 \cdot 4}{60} + \frac{7 \cdot 5}{60} = \frac{32+35}{60} = \frac{67}{60} $.
Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть: $ \frac{67}{60} = 1 \frac{7}{60} $.
Ответ: $ 1 \frac{7}{60} $.

Решение для $ \frac{21}{50} - \frac{7}{30} $:
Найдем НОК для знаменателей 50 и 30.
$ 50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2 $
$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $
НОК(50, 30) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 150 $.
Выполним вычитание:
$ \frac{21}{50} - \frac{7}{30} = \frac{21 \cdot 3}{150} - \frac{7 \cdot 5}{150} = \frac{63-35}{150} = \frac{28}{150} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:
$ \frac{28 \div 2}{150 \div 2} = \frac{14}{75} $.
Ответ: $ \frac{14}{75} $.

Решение для $ \frac{5}{42} + \frac{5}{36} $:
Найдем НОК для знаменателей 42 и 36.
$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $
$ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 $
НОК(42, 36) = $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252 $.
Выполним сложение:
$ \frac{5}{42} + \frac{5}{36} = \frac{5 \cdot 6}{252} + \frac{5 \cdot 7}{252} = \frac{30+35}{252} = \frac{65}{252} $.
Дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{65}{252} $.

б)

Решение для $ \frac{11}{24} + \frac{4}{15} $:
Найдем НОК для знаменателей 24 и 15.
$ 24 = 2^3 \cdot 3 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
НОК(24, 15) = $ 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $.
Выполним сложение:
$ \frac{11}{24} + \frac{4}{15} = \frac{11 \cdot 5}{120} + \frac{4 \cdot 8}{120} = \frac{55+32}{120} = \frac{87}{120} $.
Сократим дробь на 3:
$ \frac{87 \div 3}{120 \div 3} = \frac{29}{40} $.
Ответ: $ \frac{29}{40} $.

Решение для $ \frac{11}{30} - \frac{7}{80} $:
Найдем НОК для знаменателей 30 и 80.
$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $
$ 80 = 2^4 \cdot 5 $
НОК(30, 80) = $ 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240 $.
Выполним вычитание:
$ \frac{11}{30} - \frac{7}{80} = \frac{11 \cdot 8}{240} - \frac{7 \cdot 3}{240} = \frac{88-21}{240} = \frac{67}{240} $.
67 - простое число, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{67}{240} $.

Решение для $ \frac{19}{35} + \frac{10}{21} $:
Найдем НОК для знаменателей 35 и 21.
$ 35 = 5 \cdot 7 $
$ 21 = 3 \cdot 7 $
НОК(35, 21) = $ 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 $.
Выполним сложение:
$ \frac{19}{35} + \frac{10}{21} = \frac{19 \cdot 3}{105} + \frac{10 \cdot 5}{105} = \frac{57+50}{105} = \frac{107}{105} $.
Выделим целую часть: $ \frac{107}{105} = 1 \frac{2}{105} $.
Ответ: $ 1 \frac{2}{105} $.