Номер 6, страница 112 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. Вычислите, применяя законы сложения для упрощения вычислений:

a) $ \left(\frac{13}{25}+\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{25}; $

б) $ \frac{5}{24}+\left(\frac{3}{7}+\frac{7}{24}\right); $

в) $ \frac{3}{16}+\frac{4}{15}+\frac{11}{16}+\frac{1}{15}; $

г) $ \frac{5}{18}+\frac{2}{25}+\frac{11}{18}+\frac{3}{25}; $

д) $ \frac{1}{6}+\frac{3}{45}+\frac{7}{36}+\frac{2}{45}+\frac{5}{36}; $

е) $ \frac{2}{9}+\frac{7}{60}+\frac{5}{36}+\frac{11}{60}+\frac{1}{36}. $

а) $\left(\frac{13}{25} + \frac{2}{9}\right) + \frac{2}{25}$
Применим сочетательный и переместительный законы сложения, чтобы сгруппировать дроби с одинаковыми знаменателями:
$\left(\frac{13}{25} + \frac{2}{9}\right) + \frac{2}{25} = \left(\frac{13}{25} + \frac{2}{25}\right) + \frac{2}{9}$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{13+2}{25} + \frac{2}{9} = \frac{15}{25} + \frac{2}{9}$
Сократим дробь $\frac{15}{25}$ на 5:
$\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$
Теперь выражение имеет вид:
$\frac{3}{5} + \frac{2}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 45 ($НОК(5, 9) = 45$):
$\frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{27}{45} + \frac{10}{45} = \frac{27+10}{45} = \frac{37}{45}$
Ответ: $\frac{37}{45}$.

б) $\frac{5}{24} + \left(\frac{3}{7} + \frac{7}{24}\right)$
Применим законы сложения для перегруппировки слагаемых:
$\frac{5}{24} + \left(\frac{3}{7} + \frac{7}{24}\right) = \left(\frac{5}{24} + \frac{7}{24}\right) + \frac{3}{7}$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{5+7}{24} + \frac{3}{7} = \frac{12}{24} + \frac{3}{7}$
Сократим дробь $\frac{12}{24}$ на 12:
$\frac{12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{1}{2}$
Теперь вычислим сумму:
$\frac{1}{2} + \frac{3}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю 14 ($НОК(2, 7) = 14$):
$\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{7+6}{14} = \frac{13}{14}$
Ответ: $\frac{13}{14}$.

в) $\frac{3}{16} + \frac{4}{15} + \frac{11}{16} + \frac{1}{15}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$\left(\frac{3}{16} + \frac{11}{16}\right) + \left(\frac{4}{15} + \frac{1}{15}\right)$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{3+11}{16} + \frac{4+1}{15} = \frac{14}{16} + \frac{5}{15}$
Сократим полученные дроби: $\frac{14}{16} = \frac{7}{8}$ и $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Сложим оставшиеся дроби:
$\frac{7}{8} + \frac{1}{3}$
Общий знаменатель равен 24 ($НОК(8, 3) = 24$):
$\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{21}{24} + \frac{8}{24} = \frac{29}{24}$
Выделим целую часть: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.
Ответ: $1\frac{5}{24}$.

г) $\frac{5}{18} + \frac{2}{25} + \frac{11}{18} + \frac{3}{25}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$\left(\frac{5}{18} + \frac{11}{18}\right) + \left(\frac{2}{25} + \frac{3}{25}\right)$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{5+11}{18} + \frac{2+3}{25} = \frac{16}{18} + \frac{5}{25}$
Сократим дроби: $\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ и $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{8}{9} + \frac{1}{5}$
Общий знаменатель равен 45 ($НОК(9, 5) = 45$):
$\frac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{40}{45} + \frac{9}{45} = \frac{49}{45}$
Выделим целую часть: $\frac{49}{45} = 1\frac{4}{45}$.
Ответ: $1\frac{4}{45}$.

д) $\frac{1}{6} + \frac{3}{45} + \frac{7}{36} + \frac{2}{45} + \frac{5}{36}$
Сгруппируем слагаемые:
$\frac{1}{6} + \left(\frac{3}{45} + \frac{2}{45}\right) + \left(\frac{7}{36} + \frac{5}{36}\right)$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{1}{6} + \frac{5}{45} + \frac{12}{36}$
Сократим дроби: $\frac{5}{45} = \frac{1}{9}$ и $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
Получаем выражение:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 18 ($НОК(6, 9, 3) = 18$):
$\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{6}{18} = \frac{3+2+6}{18} = \frac{11}{18}$
Ответ: $\frac{11}{18}$.

е) $\frac{2}{9} + \frac{7}{60} + \frac{5}{36} + \frac{11}{60} + \frac{1}{36}$
Сгруппируем слагаемые:
$\frac{2}{9} + \left(\frac{7}{60} + \frac{11}{60}\right) + \left(\frac{5}{36} + \frac{1}{36}\right)$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{2}{9} + \frac{18}{60} + \frac{6}{36}$
Сократим дроби: $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ и $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Получаем выражение:
$\frac{2}{9} + \frac{3}{10} + \frac{1}{6}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 90 ($НОК(9, 10, 6) = 90$):
$\frac{2 \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{20}{90} + \frac{27}{90} + \frac{15}{90} = \frac{20+27+15}{90} = \frac{62}{90}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{62 \div 2}{90 \div 2} = \frac{31}{45}$
Ответ: $\frac{31}{45}$.