Номер 19, страница 114 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. Восстановите недостающие числа:

а) $\frac{1}{3} + \frac{*}{6} = \frac{*}{2}$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{*}{4} = \frac{*}{4}$;

в) $\frac{*}{8} - \frac{1}{*} = \frac{3}{8}$;

г) $\frac{5}{*} - \frac{*}{3} = \frac{1}{6}$;

д) $\frac{1}{7} + \frac{1}{*} = \frac{* + *}{28}$;

е) $\frac{1}{10} + \frac{1}{*} = \frac{* + *}{30}$;

ж) $\frac{*}{*} + \frac{*}{*} = \frac{29}{30}$;

з) $\frac{*}{*} + \frac{*}{*} = \frac{37}{42}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{*}{6}$, приведем их к общему знаменателю 6. Дробь $\frac{1}{3}$ станет $\frac{2}{6}$. Уравнение примет вид $\frac{2}{6} + \frac{x}{6} = \frac{y}{2}$. Слева получаем $\frac{2+x}{6}$. Чтобы результат можно было сократить до знаменателя 2, числитель $2+x$ должен делиться на 3. Самый простой случай — когда $2+x=3$, откуда $x=1$. Тогда левая часть равна $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $y=1$.
Проверка: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

б) В уравнении $\frac{1}{2} + \frac{x}{4} = \frac{y}{4}$ приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Получим $\frac{2}{4} + \frac{x}{4} = \frac{y}{4}$. Сложив дроби в левой части, имеем $\frac{2+x}{4} = \frac{y}{4}$. Отсюда следует, что числители равны: $2+x=y$. В качестве простейшего решения можно взять $x=1$, тогда $y=3$.
Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

в) Рассмотрим уравнение $\frac{x}{8} - \frac{1}{y} = \frac{3}{8}$. Перенесем члены уравнения: $\frac{x}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{y}$, что дает $\frac{x-3}{8} = \frac{1}{y}$. Предположим, что знаменатели одинаковы, то есть $y=8$. Тогда $\frac{x-3}{8} = \frac{1}{8}$, откуда $x-3=1$ и $x=4$.
Проверка: $\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

г) В уравнении $\frac{5}{x} - \frac{y}{3} = \frac{1}{6}$ приведем дроби к общему знаменателю $6$. Для этого выразим $\frac{5}{x}$: $\frac{5}{x} = \frac{1}{6} + \frac{y}{3}$. Приводя правую часть к общему знаменателю 6, получаем $\frac{5}{x} = \frac{1}{6} + \frac{2y}{6} = \frac{1+2y}{6}$. Отсюда $5 \cdot 6 = x(1+2y)$, то есть $30 = x(1+2y)$. Так как $y$ — натуральное число, $1+2y$ — нечетное число. Найдем пары множителей числа 30, где один из них нечетный. Возможный вариант: $1+2y=5$, тогда $2y=4$ и $y=2$. В этом случае $x = \frac{30}{5}=6$.
Проверка: $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$

д) В уравнении $\frac{1}{7} + \frac{1}{x} = \frac{y+z}{28}$ знаменатель 28 является общим знаменателем для дробей в левой части. Общий знаменатель дробей $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{x}$ равен 28. Так как $28 = 7 \cdot 4$, недостающий знаменатель $x$ должен быть равен 4. Тогда сложение дробей выглядит так: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{4}{28} + \frac{7}{28} = \frac{4+7}{28}$. Это полностью соответствует виду правой части.
Ответ: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{4+7}{28}$

е) Аналогично предыдущему пункту, в уравнении $\frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{y+z}{30}$ общий знаменатель равен 30. Значит, наименьшее общее кратное чисел 10 и $x$ равно 30. Так как $30=10 \cdot 3$, то $x$ должно быть кратно 3. Рассмотрим возможные значения для $x$, для которых НОК(10, $x$)=30: $x=3, 6, 15, 30$. Предполагая, что под звездочками скрываются однозначные числа, подходит только $x=6$. Тогда $\frac{1}{10} + \frac{1}{6} = \frac{3}{30} + \frac{5}{30} = \frac{3+5}{30}$. Здесь все недостающие числа (6, 3, 5) — однозначные.
Ответ: $\frac{1}{10} + \frac{1}{6} = \frac{3+5}{30}$

ж) Требуется найти две дроби, сумма которых равна $\frac{29}{30}$. Пусть это дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Общий знаменатель равен 30. Знаменатели $b$ и $d$ должны быть делителями числа 30. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Рассмотрим пару взаимно простых знаменателей, например 3 и 10. Тогда $\frac{a}{3} + \frac{c}{10} = \frac{10a+3c}{30}$. Нам нужно, чтобы $10a+3c = 29$. Подбором находим $a=2, c=3$: $10(2)+3(3) = 20+9=29$.
Таким образом, получаем равенство: $\frac{2}{3} + \frac{3}{10} = \frac{20}{30} + \frac{9}{30} = \frac{29}{30}$.
Ответ: $\frac{2}{3} + \frac{3}{10} = \frac{29}{30}$

з) Требуется найти две дроби, сумма которых равна $\frac{37}{42}$. Общий знаменатель равен 42. $42=2 \cdot 3 \cdot 7$. Рассмотрим пару взаимно простых знаменателей, чье произведение равно 42, например 6 и 7. Пусть искомые дроби $\frac{a}{6}$ и $\frac{c}{7}$. Их сумма: $\frac{a}{6} + \frac{c}{7} = \frac{7a+6c}{42}$. Нам нужно, чтобы $7a+6c = 37$. Подбором находим $a=1, c=5$: $7(1)+6(5) = 7+30=37$. В этом решении все недостающие числа (1, 6, 5, 7) — однозначные.
Проверка: $\frac{1}{6} + \frac{5}{7} = \frac{7}{42} + \frac{30}{42} = \frac{37}{42}$.
Ответ: $\frac{1}{6} + \frac{5}{7} = \frac{37}{42}$