Номер 20, страница 115 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

20. Найдите значение суммы:

a) $ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$;

б) $ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 15}$;

в) $ \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 99} + \frac{1}{99 \cdot 100}$;

г) $ \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110}$.

Все представленные суммы вычисляются с помощью одного и того же приёма, который заключается в представлении каждого слагаемого вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ в виде разности двух дробей: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Этот метод называется телескопическим суммированием и позволяет значительно упростить вычисления.

а) Представим каждое слагаемое в виде разности:

$ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = $

$ = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) $

При раскрытии скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (например, $ -\frac{1}{3} $ и $ +\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{4} $ и $ +\frac{1}{4} $, и так далее). В результате остаются только первое и последнее слагаемые:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} $

Вычислим полученную разность:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем разложение каждого слагаемого на разность двух дробей.

Исходная сумма:

$ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 15} $

Представим ее в виде телескопической суммы:

$ = \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{15}\right) $

После взаимного уничтожения промежуточных членов остаются первый и последний:

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{15} $

Найдем значение выражения, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{15} = \frac{15}{105} - \frac{7}{105} = \frac{15 - 7}{105} = \frac{8}{105} $

Ответ: $ \frac{8}{105} $.

в) Данная сумма также является телескопической. Применяем тот же метод:

$ \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 99} + \frac{1}{99 \cdot 100} $

После разложения каждого слагаемого получаем:

$ = \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{13}\right) + \dots + \left(\frac{1}{98} - \frac{1}{99}\right) + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) $

В результате остаются только крайние члены ряда:

$ \frac{1}{10} - \frac{1}{100} $

Выполним вычитание:

$ \frac{1}{10} - \frac{1}{100} = \frac{10}{100} - \frac{1}{100} = \frac{9}{100} $

Ответ: $ \frac{9}{100} $.

г) В этом задании слагаемые не представлены в нужном виде сразу. Сначала приведем их к этому виду, разложив знаменатели на множители, которые являются последовательными целыми числами:

$ 20 = 4 \cdot 5; \quad 30 = 5 \cdot 6; \quad 42 = 6 \cdot 7; \quad 56 = 7 \cdot 8; \quad 72 = 8 \cdot 9; \quad 90 = 9 \cdot 10; \quad 110 = 10 \cdot 11. $

Теперь запишем сумму в новом виде:

$ \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} $

Применим метод телескопического суммирования:

$ = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{11}\right) $

После сокращения промежуточных слагаемых остаются только первое и последнее:

$ \frac{1}{4} - \frac{1}{11} $

Вычислим разность:

$ \frac{1}{4} - \frac{1}{11} = \frac{11}{44} - \frac{4}{44} = \frac{11 - 4}{44} = \frac{7}{44} $

Ответ: $ \frac{7}{44} $.