Номер 7, страница 116 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

7. Найдите значение числового выражения:

а) $4\frac{7}{15} - \left(\frac{14}{25} - \frac{1}{3}\right) + 6\frac{2}{35};$

б) $\left(15\frac{1}{3} + 4\frac{7}{8}\right) - \left(2\frac{5}{6} - \frac{8}{9}\right).$

a) $4 \frac{7}{15} - (\frac{14}{25} - \frac{1}{3}) + 6 \frac{2}{35}$

Решим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках. Однако, удобнее будет раскрыть скобки и сгруппировать целые и дробные части, так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки внутри скобок изменятся на противоположные.

$4 \frac{7}{15} - (\frac{14}{25} - \frac{1}{3}) + 6 \frac{2}{35} = 4 \frac{7}{15} - \frac{14}{25} + \frac{1}{3} + 6 \frac{2}{35}$

1. Сгруппируем целые и дробные части:

$(4 + 6) + (\frac{7}{15} + \frac{1}{3} - \frac{14}{25} + \frac{2}{35}) = 10 + (\frac{7}{15} + \frac{1}{3} - \frac{14}{25} + \frac{2}{35})$

2. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{7}{15}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{14}{25}$ и $\frac{2}{35}$. Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$3 = 3$

$25 = 5^2$

$35 = 5 \cdot 7$

Наименьшее общее кратное (НОК) будет произведением всех простых множителей в наибольшей степени: $НОК(15, 3, 25, 35) = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 3 \cdot 25 \cdot 7 = 525$.

3. Приведем все дроби к общему знаменателю 525:

$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 35}{15 \cdot 35} = \frac{245}{525}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 175}{3 \cdot 175} = \frac{175}{525}$

$\frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 21}{25 \cdot 21} = \frac{294}{525}$

$\frac{2}{35} = \frac{2 \cdot 15}{35 \cdot 15} = \frac{30}{525}$

4. Выполним действия с полученными дробями:

$\frac{245}{525} + \frac{175}{525} - \frac{294}{525} + \frac{30}{525} = \frac{245 + 175 - 294 + 30}{525} = \frac{420 - 294 + 30}{525} = \frac{126 + 30}{525} = \frac{156}{525}$

5. Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $1+5+6=12$ и знаменателя $5+2+5=12$, значит оба числа делятся на 3.

$\frac{156 \div 3}{525 \div 3} = \frac{52}{175}$

6. Прибавим целую часть, полученную в первом действии:

$10 + \frac{52}{175} = 10 \frac{52}{175}$

Ответ: $10 \frac{52}{175}$.

б) $(15 \frac{1}{3} + 4 \frac{7}{8}) - (2 \frac{5}{6} - \frac{8}{9})$

Решим по действиям, сначала выполним операции в каждой из скобок.

1. Вычислим значение в первой скобке: $15 \frac{1}{3} + 4 \frac{7}{8}$.

Сложим целые части: $15 + 4 = 19$.

Сложим дробные части: $\frac{1}{3} + \frac{7}{8}$. Общий знаменатель для 3 и 8 равен 24.

$\frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{8}{24} + \frac{21}{24} = \frac{29}{24}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{29}{24} = 1 \frac{5}{24}$.

Сложим результат с целой частью: $19 + 1 \frac{5}{24} = 20 \frac{5}{24}$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $2 \frac{5}{6} - \frac{8}{9}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$.

Получим выражение: $\frac{17}{6} - \frac{8}{9}$. Общий знаменатель для 6 и 9 равен 18.

$\frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{51}{18} - \frac{16}{18} = \frac{35}{18}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{35}{18} = 1 \frac{17}{18}$.

3. Выполним вычитание результатов, полученных в действиях 1 и 2:

$20 \frac{5}{24} - 1 \frac{17}{18}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК(24, 18) = 72.

$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{15}{72}$

$\frac{17}{18} = \frac{17 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{68}{72}$

Получим: $20 \frac{15}{72} - 1 \frac{68}{72}$.

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{15}{72}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{68}{72}$), займем единицу из целой части уменьшаемого:

$20 \frac{15}{72} = 19 + 1 + \frac{15}{72} = 19 + \frac{72}{72} + \frac{15}{72} = 19 \frac{87}{72}$

Теперь выполним вычитание:

$19 \frac{87}{72} - 1 \frac{68}{72} = (19-1) + (\frac{87}{72} - \frac{68}{72}) = 18 + \frac{19}{72} = 18 \frac{19}{72}$

Ответ: $18 \frac{19}{72}$.