Номер 11, страница 121 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. Найдите значение числового выражения:

a) $\left(1 + \frac{1}{11}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{13}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{19}\right);$

б) $\left(1 + \frac{1}{21}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{22}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{23}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{29}\right).$

а) Чтобы найти значение данного числового выражения, сначала упростим каждый множитель в скобках. Общий вид каждого множителя — это $1 + \frac{1}{n}$. Представим 1 как дробь со знаменателем $n$, то есть $1 = \frac{n}{n}$.

Тогда каждый множитель можно преобразовать следующим образом: $1 + \frac{1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$.

Применим это правило к исходному выражению:

$(1 + \frac{1}{11}) \cdot (1 + \frac{1}{12}) \cdot (1 + \frac{1}{13}) \cdot \ldots \cdot (1 + \frac{1}{19}) = $

$= (\frac{11+1}{11}) \cdot (\frac{12+1}{12}) \cdot (\frac{13+1}{13}) \cdot \ldots \cdot (\frac{19+1}{19}) = $

$= \frac{12}{11} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \ldots \cdot \frac{20}{19}$.

В получившемся произведении дробей числитель каждой дроби (кроме последней) равен знаменателю следующей дроби. Поэтому они сокращаются. Такое произведение называется телескопическим.

$\frac{\cancel{12}}{11} \cdot \frac{\cancel{13}}{\cancel{12}} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \ldots \cdot \frac{20}{\cancel{19}}$

После выполнения всех сокращений в произведении останутся только знаменатель первой дроби (11) и числитель последней дроби (20).

Таким образом, значение выражения равно $\frac{20}{11}$.

Ответ: $\frac{20}{11}$.

б) Решим второе выражение, используя тот же подход. Упростим каждый множитель в скобках по формуле $1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$.

$(1 + \frac{1}{21}) \cdot (1 + \frac{1}{22}) \cdot (1 + \frac{1}{23}) \cdot \ldots \cdot (1 + \frac{1}{29}) = $

$= (\frac{21+1}{21}) \cdot (\frac{22+1}{22}) \cdot (\frac{23+1}{23}) \cdot \ldots \cdot (\frac{29+1}{29}) = $

$= \frac{22}{21} \cdot \frac{23}{22} \cdot \frac{24}{23} \cdot \ldots \cdot \frac{30}{29}$.

Здесь также числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей:

$\frac{\cancel{22}}{21} \cdot \frac{\cancel{23}}{\cancel{22}} \cdot \frac{\cancel{24}}{\cancel{23}} \cdot \ldots \cdot \frac{30}{\cancel{29}}$

После сокращения остаются только знаменатель первой дроби (21) и числитель последней дроби (30).

В результате получаем дробь $\frac{30}{21}$.

Эту дробь можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 3.

$\frac{30}{21} = \frac{30 \div 3}{21 \div 3} = \frac{10}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{7}$.