Номер 8, страница 120 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Запишите произведение суммы данных чисел и их разности и найдите значение этого выражения:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ 1\frac{7}{15} $ и $ \frac{4}{5} $;

г) $ 1\frac{7}{12} $ и $ \frac{3}{4} $.

а) Для чисел $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ произведение их суммы и разности записывается как $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$.
Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9}{36} - \frac{4}{36} = \frac{5}{36}$.
Ответ: $\frac{5}{36}$.

б) Для чисел $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ произведение их суммы и разности записывается как $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4})(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$.
Используем формулу разности квадратов:
$(\frac{1}{3} + \frac{1}{4})(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{9} - \frac{1}{16}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 144:
$\frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{16}{144} - \frac{9}{144} = \frac{7}{144}$.
Ответ: $\frac{7}{144}$.

в) Для чисел $1\frac{7}{15}$ и $\frac{4}{5}$ произведение их суммы и разности записывается как $(1\frac{7}{15} + \frac{4}{5})(1\frac{7}{15} - \frac{4}{5})$.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{22}{15}$.
Применим формулу разности квадратов: $(\frac{22}{15})^2 - (\frac{4}{5})^2$.
$(\frac{22}{15})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{484}{225} - \frac{16}{25}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 225:
$\frac{484}{225} - \frac{16 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{484}{225} - \frac{144}{225} = \frac{340}{225}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$\frac{340 \div 5}{225 \div 5} = \frac{68}{45}$.
Выделим целую часть: $\frac{68}{45} = 1\frac{23}{45}$.
Ответ: $1\frac{23}{45}$.

г) Для чисел $1\frac{7}{12}$ и $\frac{3}{4}$ произведение их суммы и разности записывается как $(1\frac{7}{12} + \frac{3}{4})(1\frac{7}{12} - \frac{3}{4})$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{19}{12}$.
Применим формулу разности квадратов: $(\frac{19}{12})^2 - (\frac{3}{4})^2$.
$(\frac{19}{12})^2 - (\frac{3}{4})^2 = \frac{361}{144} - \frac{9}{16}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 144:
$\frac{361}{144} - \frac{9 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{361}{144} - \frac{81}{144} = \frac{280}{144}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:
$\frac{280 \div 8}{144 \div 8} = \frac{35}{18}$.
Выделим целую часть: $\frac{35}{18} = 1\frac{17}{18}$.
Ответ: $1\frac{17}{18}$.