Номер 15.10, страница 68 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.10. Известно, что $m \ge n$ — верное числовое неравенство.

Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства прибавить число 7;

б) из обеих частей неравенства вычесть число 8,3;

в) обе части неравенства умножить на $-10$;

г) обе части неравенства разделить на $\frac{1}{7}$;

д) обе части неравенства умножить на $-1$.

Для решения этой задачи будем использовать основные свойства числовых неравенств, применяя их к исходному верному неравенству $m \ge n$.

а) к обеим частям неравенства прибавить число 7;
Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства сохраняется. Прибавим число 7 к обеим частям неравенства $m \ge n$: $m + 7 \ge n + 7$.
Ответ: $m + 7 \ge n + 7$.

б) из обеих частей неравенства вычесть число 8,3;
Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства сохраняется. Вычтем число 8,3 из обеих частей неравенства $m \ge n$: $m - 8,3 \ge n - 8,3$.
Ответ: $m - 8,3 \ge n - 8,3$.

в) обе части неравенства умножить на –10;
Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Так как –10 < 0, знак $\ge$ меняется на $\le$. Умножим обе части неравенства $m \ge n$ на –10: $m \cdot (-10) \le n \cdot (-10)$, что дает $-10m \le -10n$.
Ответ: $-10m \le -10n$.

г) обе части неравенства разделить на $\frac{1}{7}$;
Деление на число эквивалентно умножению на обратное ему число. Деление на $\frac{1}{7}$ равносильно умножению на 7. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется. Так как 7 > 0, знак $\ge$ сохраняется. Разделим обе части неравенства $m \ge n$ на $\frac{1}{7}$ (или умножим на 7): $m \div \frac{1}{7} \ge n \div \frac{1}{7}$, что дает $7m \ge 7n$.
Ответ: $7m \ge 7n$.

д) обе части неравенства умножить на –1.
Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Так как –1 < 0, знак $\ge$ меняется на $\le$. Умножим обе части неравенства $m \ge n$ на –1: $m \cdot (-1) \le n \cdot (-1)$, что дает $-m \le -n$.
Ответ: $-m \le -n$.