Номер 2.110, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.110. Выполните возведение одночлена в степень:

а) $(-a^2 b^3 c^4)^5;$

б) $(-3x^8 y^5 z^2)^2;$

в) $(-0,5x^3 y^4 z)^6;$

г) $\left(-1\frac{1}{3}m^5 n^4 k^2\right)^3.$

Определите коэффициент результата.

Для выполнения возведения одночлена в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель, входящий в состав одночлена (коэффициент и каждую переменную). При этом используется свойство степени: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) $(-a^2b^3c^4)^5$

Возводим в пятую степень каждый множитель одночлена. Коэффициент здесь равен $-1$.

$(-a^2b^3c^4)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot (b^3)^5 \cdot (c^4)^5$

Выполняем вычисления:

• $(-1)^5 = -1$
• $(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$
• $(b^3)^5 = b^{3 \cdot 5} = b^{15}$
• $(c^4)^5 = c^{4 \cdot 5} = c^{20}$

Соединив результаты, получаем: $-1 \cdot a^{10}b^{15}c^{20} = -a^{10}b^{15}c^{20}$.
Коэффициент полученного одночлена равен $-1$.

Ответ: $-a^{10}b^{15}c^{20}$.

б) $(-3x^8y^5z^2)^2$

Возводим в квадрат каждый множитель одночлена.

$(-3x^8y^5z^2)^2 = (-3)^2 \cdot (x^8)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot (z^2)^2$

Выполняем вычисления:

• $(-3)^2 = 9$
• $(x^8)^2 = x^{8 \cdot 2} = x^{16}$
• $(y^5)^2 = y^{5 \cdot 2} = y^{10}$
• $(z^2)^2 = z^{2 \cdot 2} = z^{4}$

Соединив результаты, получаем: $9x^{16}y^{10}z^4$.
Коэффициент полученного одночлена равен $9$.

Ответ: $9x^{16}y^{10}z^4$.

в) $(-0,5x^3y^4z)^6$

Возводим в шестую степень каждый множитель. Коэффициент $-0,5$ представим в виде обыкновенной дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-0,5x^3y^4z)^6 = (-\frac{1}{2})^6 \cdot (x^3)^6 \cdot (y^4)^6 \cdot z^6$

Выполняем вычисления:

• $(-\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$
• $(x^3)^6 = x^{3 \cdot 6} = x^{18}$
• $(y^4)^6 = y^{4 \cdot 6} = y^{24}$
• $z^6 = z^6$

Соединив результаты, получаем: $\frac{1}{64}x^{18}y^{24}z^6$.
Коэффициент полученного одночлена равен $\frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}x^{18}y^{24}z^6$.

г) $(-1\frac{1}{3}m^5n^4k^2)^3$

Возводим в куб каждый множитель. Коэффициент $-1\frac{1}{3}$ сначала преобразуем в неправильную дробь.

$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

Теперь возводим в степень:

$(-1\frac{1}{3}m^5n^4k^2)^3 = (-\frac{4}{3})^3 \cdot (m^5)^3 \cdot (n^4)^3 \cdot (k^2)^3$

Выполняем вычисления:

• $(-\frac{4}{3})^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$
• $(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$
• $(n^4)^3 = n^{4 \cdot 3} = n^{12}$
• $(k^2)^3 = k^{2 \cdot 3} = k^{6}$

Преобразуем полученный коэффициент из неправильной дроби в смешанное число (выделим целую часть):

$-\frac{64}{27} = - (64 \div 27) = -(2 \text{ и } 10 \text{ в остатке}) = -2\frac{10}{27}$

Соединив результаты, получаем: $-2\frac{10}{27}m^{15}n^{12}k^6$.
Коэффициент полученного одночлена равен $-2\frac{10}{27}$.

Ответ: $-2\frac{10}{27}m^{15}n^{12}k^6$.