Номер 2.64, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.64. Как можно убедиться в том, что равенство не является тождеством? Докажите, что равенство $a^2 - 9 = (a-3)^2$ не является тождеством.

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример. Контрпример — это такое значение переменной (или переменных), при подстановке которого в равенство оно становится неверным. Если найден хотя бы один контрпример, это доказывает, что равенство не является тождеством.

Альтернативный способ — выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства (например, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые). Если в результате преобразований получаются выражения, которые не являются идентичными, то исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Чтобы убедиться, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором левая и правая части равенства не равны, либо показать с помощью алгебраических преобразований, что выражения в левой и правой частях не идентичны.

Докажите, что равенство $a^2 - 9 = (a - 3)^2$ не является тождеством.

Для доказательства того, что данное равенство не является тождеством, можно использовать один из двух методов.

Метод 1: Нахождение контрпримера.

Подставим в равенство любое число вместо переменной $a$. Выберем простое для вычислений значение, например, $a = 1$.

• Вычислим значение левой части: $a^2 - 9 = 1^2 - 9 = 1 - 9 = -8$.
• Вычислим значение правой части: $(a - 3)^2 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$.

Мы получили, что при $a = 1$ левая часть равна $-8$, а правая равна $4$. Так как $-8 \neq 4$, равенство не выполняется. Мы нашли контрпример, следовательно, равенство не является тождеством.

Метод 2: Алгебраическое преобразование.

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство:

$a^2 - 9 = a^2 - 6a + 9$

Сравнивая левую и правую части, мы видим, что они не идентичны. Выражение $a^2 - 9$ не равно выражению $a^2 - 6a + 9$ для всех значений $a$. Значит, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как при подстановке, например, значения $a=1$ получается неверное числовое равенство $-8 = 4$.