Номер 3.127, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.127. Найдите площадь прямоугольника, если при уменьшении его длины на 4 см получается квадрат, площадь которого меньше площади прямоугольника на $12 \, \text{см}^2$.

Найдите площадь прямоугольника, если при уменьшении его длины на 4 см получается квадрат, площадь которого меньше площади прямоугольника на 12 см².

Решение:

1. Введем переменные. Пусть $l$ - длина исходного прямоугольника (в см), а $w$ - его ширина (в см).

2. Составим уравнения на основе условий задачи.

Из первого условия, что при уменьшении длины на 4 см получается квадрат, следует, что новая длина ($l-4$) становится равной ширине ($w$):

$$ l - 4 = w $$

Отсюда выразим длину: $l = w + 4$.

Площадь исходного прямоугольника равна $S_{прямоуг.} = l \cdot w$.

Площадь получившегося квадрата со стороной $w$ равна $S_{квадрата} = w^2$.

Из второго условия, что площадь квадрата на 12 см² меньше площади прямоугольника, имеем:

$$ S_{прямоуг.} - S_{квадрата} = 12 $$

Подставим выражения для площадей:

$$ (l \cdot w) - w^2 = 12 $$

3. Решим систему уравнений. Подставим выражение $l = w + 4$ во второе уравнение:

$$ (w + 4) \cdot w - w^2 = 12 $$

Раскроем скобки:

$$ w^2 + 4w - w^2 = 12 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 4w = 12 $$

Найдем ширину:

$$ w = \frac{12}{4} = 3 \text{ см} $$

4. Найдем длину и площадь.

Теперь, зная ширину, найдем длину:

$$ l = w + 4 = 3 + 4 = 7 \text{ см} $$

Искомая площадь прямоугольника равна:

$$ S_{прямоуг.} = l \cdot w = 7 \cdot 3 = 21 \text{ см}^2 $$

Проверка:

Размеры прямоугольника: длина 7 см, ширина 3 см. Площадь: $7 \times 3 = 21$ см².

Уменьшаем длину на 4 см: $7 - 4 = 3$ см. Получаем квадрат со стороной 3 см.

Площадь квадрата: $3 \times 3 = 9$ см².

Разница площадей: $21 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$. Условие выполнено.

Ответ: 21