Номер 3.133, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.133. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 11). Расположите в порядке возрастания числа $a$; $\frac{1}{a}$ и $a^2$.

Рис. 11

В задаче требуется расположить в порядке возрастания числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$, где число $a$ отмечено на координатной прямой.

Из рисунка 11 видно, что число $a$ находится в интервале между 0 и 1. Математически это записывается как двойное неравенство: $0 < a < 1$.

Для решения задачи сравним попарно данные выражения, используя это свойство.

Возьмем неравенство $0 < a < 1$. Умножим его на $a$. Поскольку $a$ — положительное число ($a>0$), знаки неравенства сохранятся: $a \cdot 0 < a \cdot a < a \cdot 1$ $0 < a^2 < a$ Из этого следует, что $a^2$ меньше $a$.

Ответ: $a^2 < a$.

Возьмем правую часть исходного неравенства: $a < 1$. Разделим обе части на положительное число $a$: $\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$ $1 < \frac{1}{a}$ Мы получили, что число $\frac{1}{a}$ больше 1. А поскольку из условия $a < 1$, то очевидно, что $a < \frac{1}{a}$. Например, если $a = \frac{3}{4}$, то $\frac{1}{a} = \frac{4}{3}$. Это неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $a < \frac{1}{a}$.

Мы установили два факта:

1. $a^2 < a$
2. $a < \frac{1}{a}$

Объединяя эти два неравенства в одну цепочку, мы получаем итоговый порядок: $a^2 < a < \frac{1}{a}$

Ответ: $a^2, a, \frac{1}{a}$.