Номер 3.135, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.135. Найдите сумму всех делителей числа 24.

Чтобы найти сумму всех делителей числа, необходимо сначала найти все его натуральные делители. Делитель числа — это такое натуральное число, на которое исходное число делится без остатка.

1. Найдем все делители числа 24. Для этого будем проверять все числа от 1 до 24.

• $24 \div 1 = 24$ (1 и 24 являются делителями)
• $24 \div 2 = 12$ (2 и 12 являются делителями)
• $24 \div 3 = 8$ (3 и 8 являются делителями)
• $24 \div 4 = 6$ (4 и 6 являются делителями)

Продолжая проверку, мы убедимся, что других делителей нет. Таким образом, все натуральные делители числа 24 это: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

2. Теперь сложим все найденные делители, чтобы найти их сумму:

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24$

Выполним сложение:

$S = (1 + 2 + 3 + 4) + (6 + 8 + 12 + 24) = 10 + 50 = 60$

Альтернативный метод (через разложение на простые множители):

1. Разложим число 24 на простые множители:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

2. Сумма делителей $\sigma(n)$ для числа $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ находится по формуле:

$\sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdot \ldots \cdot \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$

Или в виде суммы степеней:

$\sigma(n) = (1+p_1+p_1^2+\ldots+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\ldots+p_2^{a_2})\ldots$

3. Применим формулу для числа 24:

$\sigma(24) = (1+2^1+2^2+2^3) \cdot (1+3^1)$

$\sigma(24) = (1+2+4+8) \cdot (1+3)$

$\sigma(24) = 15 \cdot 4 = 60$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 60