вопросы, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Можно ли сравнить два числа, зная их разность?

2. Если одно число больше числа 10, а другое больше числа 1, то можно ли сравнить эти числа?

3. Если сложить почленно два верных неравенства, то всегда ли получится верное неравенство?

4. Если перемножить почленно два верных неравенства, то всегда ли получится верное неравенство?

5. Если обе части неравенства умножить на 0,1, то изменится ли знак этого неравенства?

6. Если обе части неравенства умножить на -1, то изменится ли знак этого неравенства?

1. Можно ли сравнить два числа, зная их разность?
Да, можно. Сравнение двух чисел $a$ и $b$ сводится к определению знака их разности $a - b$.

• Если разность $a - b$ является положительным числом ($a - b > 0$), то число $a$ больше числа $b$ ($a > b$).
• Если разность $a - b$ является отрицательным числом ($a - b < 0$), то число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$).
• Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа $a$ и $b$ равны ($a = b$).

Таким образом, зная разность, мы однозначно можем сравнить два числа.
Ответ: Да.

2. Если одно число больше числа 10, а другое больше числа 1, то можно ли сравнить эти числа?
Нет, на основании этих данных сравнить числа однозначно нельзя. Обозначим первое число как $a$, а второе как $b$. Мы имеем условия: $a > 10$ и $b > 1$. Рассмотрим несколько примеров:

• Пусть $a = 12$ и $b = 5$. Оба условия выполняются ($12 > 10$ и $5 > 1$), и в этом случае $a > b$.
• Пусть $a = 15$ и $b = 20$. Оба условия выполняются ($15 > 10$ и $20 > 1$), и в этом случае $a < b$.
• Пусть $a = 11$ и $b = 11$. Оба условия выполняются ($11 > 10$ и $11 > 1$), и в этом случае $a = b$.

Поскольку возможны все три варианта сравнения ($>$, $<$, $=$), то сделать однозначный вывод о том, какое из чисел больше, невозможно.
Ответ: Нет.

3. Если сложить почленно два верных неравенства, то всегда ли получится верное неравенство?
Да, но при условии, что складываемые неравенства имеют одинаковый знак (оба вида $a>b$ или оба вида $a<b$). Сложение неравенств разного знака не является стандартной операцией и не приводит к предсказуемому результату. Обычно под этим вопросом подразумевается сложение неравенств одного знака.
Например, если у нас есть два верных неравенства $a > b$ и $c > d$, то, сложив их почленно, мы получим неравенство $a + c > b + d$, которое также всегда будет верным.
Пример: $5 > 3$ и $10 > 4$. Складываем: $5 + 10 > 3 + 4$, что дает $15 > 7$. Это верное неравенство.
Ответ: Да, если неравенства одного знака.

4. Если перемножить почленно два верных неравенства, то всегда ли получится верное неравенство?
Нет, не всегда. Свойство о почленном перемножении неравенств справедливо только в том случае, если все части перемножаемых неравенств — положительные числа. Если среди них есть отрицательные, результат может быть неверным.
Пример, когда свойство выполняется (все части положительные):
$5 > 3$ и $4 > 2$. Перемножим их: $5 \times 4 > 3 \times 2$, что дает $20 > 6$. Неравенство верное.
Контрпример (есть отрицательные части):
Возьмем два верных неравенства: $-2 > -5$ и $-3 > -4$. Перемножим их почленно: $(-2) \times (-3) > (-5) \times (-4)$, что дает $6 > 20$. Полученное неравенство является ложным.
Следовательно, не всегда при почленном перемножении двух верных неравенств получается верное неравенство.
Ответ: Нет.

5. Если обе части неравенства умножить на 0,1, то изменится ли знак этого неравенства?
Нет, знак неравенства не изменится. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих его частей на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
Число $0,1$ является положительным ($0,1 > 0$).
Поэтому, если было неравенство $a > b$, то после умножения на $0,1$ получится $0,1a > 0,1b$. Знак `>` сохранился.
Ответ: Нет.

6. Если обе части неравенства умножить на –1, то изменится ли знак этого неравенства?
Да, знак неравенства изменится на противоположный. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих его частей на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Число $-1$ является отрицательным ($-1 < 0$).
Поэтому, если было неравенство $a > b$, то после умножения на $-1$ получится $-a < -b$. Знак `>` изменился на `<`.
Ответ: Да.