Номер 3.144, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.144. Докажите неравенство:

a) $a^2 - 10a + 25 \ge 0$;

б) $a^2 + 2 > 2a$.

а) Докажите неравенство $a^2 - 10a + 25 \ge 0$.

Для доказательства этого неравенства воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Рассмотрим левую часть неравенства: $a^2 - 10a + 25$.
Мы можем переписать это выражение следующим образом:
$a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2$

Это в точности соответствует правой части формулы квадрата разности, где $x=a$ и $y=5$.
Следовательно, $a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:
$(a-5)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть он либо больше, либо равен нулю. Таким образом, неравенство $(a-5)^2 \ge 0$ верно для любого действительного значения $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажите неравенство $a^2 + 2 > 2a$.

Для доказательства преобразуем неравенство, перенеся все его члены в левую часть: $a^2 - 2a + 2 > 0$.

Теперь выделим в левой части полный квадрат. Для этого представим число 2 в виде суммы $1 + 1$:
$a^2 - 2a + 1 + 1 > 0$.

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат разности по формуле $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$:
$(a^2 - 2a + 1) + 1 > 0$.

Таким образом, неравенство принимает вид:
$(a-1)^2 + 1 > 0$.

Проанализируем полученное выражение:

• Выражение $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a-1)^2 \ge 0$.
• Если к неотрицательному числу $(a-1)^2$ прибавить положительное число 1, то результат всегда будет строго больше нуля. Минимальное значение выражения $(a-1)^2$ равно 0 (при $a=1$), тогда минимальное значение всего выражения $(a-1)^2 + 1$ равно $0+1=1$.

Поскольку $1 > 0$, то и $(a-1)^2 + 1 > 0$ для любого действительного значения $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.