Номер 3.147, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.147. Сравните значения выражений $(a-2)^2$ и $4(1-a)$.

Чтобы сравнить два алгебраических выражения, нужно найти их разность и определить знак этой разности. Если разность положительна, то первое выражение больше второго; если отрицательна — то меньше; если равна нулю — выражения равны.

Составим разность данных выражений:

$(a-2)^2 - 4(1-a)$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, а для второго — распределительный закон умножения.

$(a-2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$

$4(1-a) = 4 - 4a$

Подставим раскрытые выражения обратно в разность:

$(a^2 - 4a + 4) - (4 - 4a)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$a^2 - 4a + 4 - 4 + 4a$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + (-4a + 4a) + (4 - 4) = a^2$

В результате упрощения мы получили, что разность исходных выражений равна $a^2$.

Проанализируем знак этого результата. Выражение $a^2$ представляет собой квадрат любого действительного числа $a$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю:

$a^2 \ge 0$

Это означает, что разность $(a-2)^2 - 4(1-a)$ также всегда больше или равна нулю, откуда следует, что:

$(a-2)^2 \ge 4(1-a)$

Рассмотрим два возможных случая:

• Равенство: Выражения равны, когда их разность равна нулю. $a^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $a=0$. При $a=0$ имеем: $(a-2)^2 = 4(1-a)$.
• Неравенство: Первое выражение строго больше второго, когда их разность строго положительна. $a^2 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $a$, кроме нуля ($a \neq 0$). При $a \neq 0$ имеем: $(a-2)^2 > 4(1-a)$.

Ответ: Для любого действительного значения $a$ выполняется неравенство $(a-2)^2 \ge 4(1-a)$. При $a=0$ значения выражений равны, а при всех $a \neq 0$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $4(1-a)$.