Номер 3.145, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.145. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

а) $(a - 7)^2 > a(a - 14);$

б) $a^2 + 1 \ge 2(3a - 4).$

Для доказательства этого неравенства раскроем скобки в обеих его частях и упростим полученное выражение.

В левой части используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a-7)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = a^2 - 14a + 49$

В правой части применим распределительный закон умножения:

$a(a-14) = a^2 - 14a$

Теперь подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:

$a^2 - 14a + 49 > a^2 - 14a$

Перенесём все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$a^2 - 14a + 49 - a^2 + 14a > 0$

Сократим подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-14a + 14a) + 49 > 0$

$0 + 0 + 49 > 0$

$49 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному числовому неравенству $49 > 0$.

Для доказательства преобразуем данное неравенство, раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону.

Сначала раскроем скобки в правой части:

$a^2 + 1 \ge 6a - 8$

Теперь перенесём все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, сравниваемое с нулём:

$a^2 + 1 - 6a + 8 \ge 0$

Приведём подобные слагаемые и упорядочим члены по степеням $a$:

$a^2 - 6a + 9 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности. Оно соответствует формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x=a$ и $y=3$.

$(a-3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(a-3)^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $(a-3)^2 \ge 0$, которое истинно для всех действительных чисел $a$.