Номер 3.131, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.131. На координатной плоскости отметьте точки $A(4; 2)$, $B(4; 6)$, $C(4; 4)$ и $D(8; 2)$. Найдите координаты общей точки отрезков $AB$ и $CD$.

Для решения данной задачи необходимо найти координаты точки, которая одновременно принадлежит и отрезку AB, и отрезку CD. Это можно сделать аналитически, составив уравнения прямых, содержащих эти отрезки, и найдя их точку пересечения.

1. Анализ отрезка AB

Отрезок AB соединяет точки A(4; 2) и B(4; 6). Так как абсцисса (координата x) у обеих точек одинакова и равна 4, отрезок AB является вертикальным. Он лежит на прямой, заданной уравнением:

$$x = 4$$

Любая точка на отрезке AB имеет координаты $(4; y)$, где $2 \le y \le 6$.

2. Анализ отрезка CD

Отрезок CD соединяет точки C(4; 4) и D(8; 2). Чтобы найти уравнение прямой, на которой лежит этот отрезок, воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Подставим координаты точек C(4; 4) и D(8; 2):

$$\frac{y - 4}{2 - 4} = \frac{x - 4}{8 - 4}$$

$$\frac{y - 4}{-2} = \frac{x - 4}{4}$$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$$y - 4 = -2 \cdot \frac{x - 4}{4}$$

$$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 2 + 4$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 6$$

3. Нахождение общей точки

Чтобы найти общую точку, нужно решить систему уравнений для двух прямых:

$$ \begin{cases} x = 4 \\ y = -\frac{1}{2}x + 6 \end{cases} $$

Подставим значение $x = 4$ из первого уравнения во второе:

$$y = -\frac{1}{2}(4) + 6$$

$$y = -2 + 6$$

$$y = 4$$

Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами (4; 4).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам

Необходимо убедиться, что найденная точка (4; 4) принадлежит обоим отрезкам, а не только прямым.

• Для отрезка AB: точка должна иметь вид $(4; y)$, где $2 \le y \le 6$. Точка (4; 4) удовлетворяет этим условиям, так как $y = 4$ и $2 \le 4 \le 6$.
• Для отрезка CD: точка (4; 4) совпадает с точкой C, которая является одним из концов отрезка CD, следовательно, она принадлежит этому отрезку.

Поскольку точка (4; 4) принадлежит обоим отрезкам, она и является их общей точкой.

Ответ: (4; 4)