Номер 3.369, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.369. В одной системе координат постройте графики функций $y=2x+1$; $y=-x+3$; $y=-\frac{1}{2}x-2$; $y=6$. Определите координаты точки пересечения графика каждой функции с осью ординат. Можно ли определить координаты этих точек, не выполняя построения графиков?

Задача состоит из трех частей: построить графики нескольких функций, найти их точки пересечения с осью ординат и определить, можно ли найти эти точки без построения графиков. Решим каждую часть последовательно.

1. Построение графиков функций

Все заданные функции являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

• Для функции $y = 2x + 1$:
  Найдем две точки:
  Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
  Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Точка (1, 3).
  График — прямая, проходящая через точки (0, 1) и (1, 3).
• Для функции $y = -x + 3$:
  Найдем две точки:
  Если $x = 0$, то $y = -0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
  Если $x = 2$, то $y = -2 + 3 = 1$. Точка (2, 1).
  График — прямая, проходящая через точки (0, 3) и (2, 1).
• Для функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$:
  Найдем две точки:
  Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
  Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2) - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (-2, -1).
  График — прямая, проходящая через точки (0, -2) и (-2, -1).
• Для функции $y = 6$:
  Это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку, где ордината равна 6, например, через точки (0, 6) и (1, 6).

Для построения нужно начертить систему координат и провести четыре прямые через найденные пары точек.

2. Определение координат точки пересечения графика каждой функции с осью ординат

Точка пересечения графика с осью ординат (осью Oy) — это точка, у которой абсцисса (координата x) равна нулю. Чтобы найти ординату (координату y) этой точки, нужно подставить $x=0$ в уравнение каждой функции.

Для функции $y=2x+1$:
Подставляем $x=0$: $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Координаты точки пересечения: (0, 1).
Ответ: (0, 1).

Для функции $y=-x+3$:
Подставляем $x=0$: $y = -0 + 3 = 3$.
Координаты точки пересечения: (0, 3).
Ответ: (0, 3).

Для функции $y = -\frac{1}{2}x-2$:
Подставляем $x=0$: $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2$.
Координаты точки пересечения: (0, -2).
Ответ: (0, -2).

Для функции $y=6$:
Уравнение $y=6$ означает, что для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно 6. Следовательно, при $x=0$, $y=6$.
Координаты точки пересечения: (0, 6).
Ответ: (0, 6).

3. Можно ли определить координаты этих точек, не выполняя построения графиков?

Да, можно определить координаты точек пересечения с осью ординат, не выполняя построения графиков.

Как было показано в предыдущем пункте, для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) достаточно подставить значение $x=0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$.

Более того, для линейной функции, заданной в виде $y = kx + b$, коэффициент $b$ (свободный член) как раз и показывает ординату точки пересечения графика с осью Oy.

• Для $y = 2x + 1$, $b=1$. Точка пересечения (0, 1).
• Для $y = -x + 3$, $b=3$. Точка пересечения (0, 3).
• Для $y = -\frac{1}{2}x - 2$, $b=-2$. Точка пересечения (0, -2).
• Для $y = 6$, уравнение можно представить как $y = 0 \cdot x + 6$, где $b=6$. Точка пересечения (0, 6).

Таким образом, для нахождения этих координат достаточно проанализировать само уравнение функции. Построение графика для этой цели не требуется.