Номер 3.373, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Анализ условий задачи

Задача состоит из двух частей: сначала нужно выбрать функции, удовлетворяющие двум условиям, а затем построить их графики.

Общий вид линейной функции задается уравнением $y = kx + b$.

1. Условие 1: График составляет тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
   Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha)$. Угол является тупым, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Для таких углов тангенс отрицателен. Следовательно, для выполнения первого условия необходимо, чтобы угловой коэффициент был отрицательным: $k < 0$.
2. Условие 2: График пересекает ось ординат в точке с положительной ординатой.
   Пересечение с осью ординат (осью Oy) происходит в точке, где абсцисса $x=0$. Подставляя $x=0$ в уравнение функции, получаем: $y = k \cdot 0 + b = b$. Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, b)$. По условию, ордината этой точки должна быть положительной, что означает $b > 0$.

Итак, мы ищем функции, у которых одновременно выполняются два неравенства: $k < 0$ и $b > 0$.

Анализ и построение графиков

а) $y = 4x - 3$

В этой функции угловой коэффициент $k = 4$ и свободный член $b = -3$.
Проверяем условия:
1) $k < 0$? Нет, так как $4 > 0$. Угол наклона острый.
2) $b > 0$? Нет, так как $-3 < 0$.
Функция не удовлетворяет ни одному из условий.
Ответ: не подходит.

б) $y = -3x + 8$

В этой функции $k = -3$ и $b = 8$.
Проверяем условия:
1) $k < 0$? Да, так как $-3 < 0$. Угол наклона тупой.
2) $b > 0$? Да, так как $8 > 0$.
Функция удовлетворяет обоим условиям.

Построение графика функции $y = -3x + 8$:
Графиком является прямая. Для построения найдем координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью Oy (при $x=0$):
$y = -3 \cdot 0 + 8 = 8$. Получаем точку (0; 8).
2. Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = -3x + 8 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} = \boldsymbol{2}\frac{2}{3}$. Получаем точку ($\boldsymbol{2}\frac{2}{3}$; 0).
Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 8) и ($\boldsymbol{2}\frac{2}{3}$; 0) и провести через них прямую.
Ответ: подходит.

в) $y = 1 - x$

Запишем функцию в стандартном виде $y = -1x + 1$. Здесь $k = -1$ и $b = 1$.
Проверяем условия:
1) $k < 0$? Да, так как $-1 < 0$. Угол наклона тупой.
2) $b > 0$? Да, так как $1 > 0$.
Функция удовлетворяет обоим условиям.

Построение графика функции $y = 1 - x$:
Графиком является прямая. Для построения найдем координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью Oy (при $x=0$):
$y = 1 - 0 = 1$. Получаем точку (0; 1).
2. Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = 1 - x \Rightarrow x = 1$. Получаем точку (1; 0).
Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 1) и (1; 0) и провести через них прямую.
Ответ: подходит.

г) $y = 4x$

Запишем функцию в виде $y = 4x + 0$. Здесь $k = 4$ и $b = 0$.
Проверяем условия:
1) $k < 0$? Нет, так как $4 > 0$. Угол наклона острый.
2) $b > 0$? Нет, так как $0 \ngtr 0$. График проходит через начало координат.
Функция не удовлетворяет ни одному из условий.
Ответ: не подходит.